THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 39/b
Thứ Hai, tháng 2 02, 2015CHƯƠNG VI: BÍCH LẠC
“Một chân lý mới của khoa học thường thắng lợi không phải bằng cách những kẻ chống đối nó sẽ được thuyết phục và tuyên bố mình được dạy dỗ, mà đúng hơn bằng cách những kẻ chống đối dần dần chết hết và thế hệ mới ngay từ đầu được làm quen với nó”.
M. Planck.
“Nền văn minh của chúng ta chẳng qua là sự tích lũy của tất cả những niềm mơ ước đã được thể hiện trong thực tế qua hàng bao thế kỷ và nếu như loài người không ước mơ, quay lưng lại với sự kỳ diệu của Vũ Trụ, thì đó là dấu hiệu suy thoái của loài người”.
Clac
(tiếp theo)
¯¯¯
Ngay từ thời còn là sinh viên, F. Bôia đã gọi vui K. Gauxơ, người bạn thân của mình là “Cuốn sách im lặng chưa có tên tuổi”. Và F. Bôia đã không lầm: K. Gauxơ sau này đã trở thành nhà toán học hàng đầu của Châu Âu và được vinh danh là “Ông Hoàng toán học” của thời đại mình. Sự vinh danh ấy không phải là quá đáng nếu nhìn vào những thành tựu toán học mà Gauxơ đã gặt hái được cho khoa học. Chúng ta có thể tóm lược vài kết quả toán học tiêu biểu của ông.
Vào tháng 7-1796, trên một số báo được xuất bản ở Rên, có đăng bài “Phát minh mới” được ký tên K. Gauxơ, một sinh viên của Trường Đại học tổng hợp Gottinghen. Đây là một phát minh mới lạ mà lúc ấy ít người để ý đến. Trong bài báo đó, Gauxơ viết:
“Mọi nhà hình học đều biết rằng có thể bằng phương pháp hình học (tức bằng thước kẻ và compa) dựng được các hình đa giác đều, cụ thể là tam giác, ngũ giác 15 cạnh và các đa giác có số cạnh gấp đôi chúng. Điều đó người ta có thể biết từ thời Ơclít và hình như từ ấy đến nay, mọi người đều cho rằng lĩnh vực hình học sơ cấp không thể mở rộng thêm, hoặc ít ra là tôi chưa biết một sự thành công nào trong việc mở rộng về hướng này. Do đó tôi cho rằng đáng chú ý đến phát minh: ngoài những đa giác đều trên, có thể bằng phương pháp hình học dựng nhiều đa giác đều khác, ví dụ như đa giác đều 17 cạnh. Phát minh đó thực ra chỉ là hệ quả của một lý thuyết lớn chưa được kết thúc hoàn toàn. Sau khi lý thuyết ấy được hoàn thành, nó sẽ được giới thiệu với độc giả”.
Năm năm sau, lúc chỉ mới 24 tuổi, Gauxơ đã cho xuất bản tác phẩm “Những nghiên cứu số học” mà chương cuối của nó là một lý thuyết hoàn chỉnh về chia đều đường tròn (cũng tức là dựng đa giác đều). Bản thân Gauxơ đã coi lý thuyết này là một thành tựu lớn của mình.
Cả cuộc đời Gauxơ là một quá trình sáng tạo không ngừng nghỉ. Ông đưa mắt về đâu là hầu như phát hiện ra ở đấy những điều mà trước đó người khác không nhìn thấy. Khi chú ý đến vấn đề nào, ông cũng thường biết rút ra được từ đó những nhận xét quan trọng và mới mẻ. Sự chú ý của ông tập trung vào hầu hết các vấn đề chưa được giải quyết của tất cả các ngành khoa học chính xác. Gauxơ rất giỏi trong việc giải quyết những bài toán đặc biệt có tính ứng dụng, để rồi chúng đều được biến thành những nghiên cứu sâu sắc và toàn diện.
Trong đêm đầu năm 1801, nhà thiên văn người Ý tên là Piaxi đã tìm thấy một hành tinh nhỏ giữa quĩ đạo của sao Hỏa và sao Mộc và đặt tên cho nó là Xêrêra (Nữ thần nông nghiệp và là biểu tượng của sự no ấm). Sau đó ít lâu Xêrêra tiến đến gần Mặt trời và bị những tia sáng chói chang của Mặt trời che lấp. Rồi sau đó Xêrêra mất tích. Các nhà thiên văn đã cố tìm nó nhưng vô vọng.
Thế là Gauxơ bắt tay vào nghiên cứu hiện tượng này. Ông xem xét kỹ lại tất cả các tài liệu quan sát của của Fiaxi đối với hành tinh Xêrêra và đi đến một kết luận tài tình: chỉ cần ba lần quan sát chính xác là hoàn toàn có thể tính toán một quĩ đạo bất kỳ nào. Gauxơ đã tính đường đi của Xêrêra, chỉ cho các nhà thiên văn vị trí chính xác của nó và họ đã thực sự tìm ra hành tinh bé nhỏ này. Đây là công trình toán học đã làm cho nhà toán học trẻ Gauxơ lần đầu tiên nổi tiếng khắp thế giới.
Gauxơ đã hiến dâng cho thiên văn học 20 năm làm việc nhiệt tình của đời mình và đã giải quyết được nhiều vấn đề thuần túy toán học nảy sinh trong khi nghiên cứu thiên văn.
Tiếp theo thiên văn học là địa chất học. Ở lĩnh vực này, Gauxơ cũng mang lại cho khoa học những thành quả kỳ diệu. Phải thừa nhận rằng Gauxơ đã sáng tạo ra môn địa chất cao cấp - môn học mà trước đó chưa từng có. Ông xây dựng lý thuyết mặt sâu sắc đến nỗi vượt trước sự phát triển của ngành toán học đến hàng trăm năm. Những phương pháp mà ông sáng tạo, về sau được các nhà toán học khác ứng dụng rộng rãi.
Chỉ cần thống kê tất cả những công việc mà Gauxơ đã làm, cũng tốn nhiều trang sách. Ông xây dựng ngành điện tín điện tử, nghiên cứu hiện tượng nhiễm từ của trái đất và kết quả là đã xuất bản hai công trình quan trọng: “Những công trình về lý thuyết thế năng” và “Lý thuyết tổng quát về nhiễm từ trái đất”. Gauxơ còn suy tư về những vấn đề cơ bản của cơ học và một trong những phát kiến quan trọng của ông đến ngày nay vẫn còn phải nhắc tới là “Nguyên lý tác dụng tối thiểu”. Đây là nguyên lý minh họa một trong những qui luật cơ bản về sự chuyển động của hệ thống các vật thể tác dụng tương hỗ với nhau.
Những người đương thời với Gauxơ đã nể phục ông về sự toàn diện và sâu sắc trong tư duy toán học, có khả năng không những đi sát với thời đại mà còn vượt lên trước thời đại, đặt ra cho khoa học hết vấn đề này đến vấn đề khác.
Không thể kể hết được những công trình sáng tạo kiệt xuất của Gauxơ từ số học, đại số học, hình học, thiên văn học, đến trắc địa học, vật lý học… Ngoài một số lượng khổng lồ các công trình đã được công bố lúc Gauxơ còn sống, người ta còn thu thập được một khối lượng đồ sộ các bản thảo chưa công bố của Gauxơ, nhiều đến mức để tránh nhầm lẫn và sai sót vô tình, người ta đã phải thành lập hẳn một tổ chức làm công việc chuyên sưu tầm, biên tập suốt từ khi ông tạ thế vào năm 1855 cho đến tận trước ngày xảy ra cuộc chiến tranh thế giới thứ hai mới gọi là hoàn tất để trao cho Hội khoa học Gottinghen lần lượt xuất bản thành 12 tập sách di cảo của ông.
Qua việc sưu tập di cảo chưa được công bố của Gauxơ, người ta phát hiện ra rằng bản thân “Ông Hoàng toán học” cũng đã từng rất quan tâm tới việc xây dựng môn hình học mới gọi là phi Ơclít (tên gọi “phi Ơclít” là do Gauxơ khởi xướng) và cũng đi đến nhiều kết luận giống như Lôbasépxki, cũng như các kết luận về lĩnh vực hình học này mà nhà toán học trẻ và bất hạnh người Hungari là J. Bôia đã đạt tới.
Nhưng thực hư là thế nào? Phải chăng là “Ông Hoàng toán học” Gauxơ cũng đã xây dựng được một hệ thống hình học phi Ơclít đồng thời với N. Lôbasépxki và J. Bôia? Hoàn toàn không! Có thể Gauxơ dù là rất sớm đã suy tư về định đề 5 của Ơclít nhưng vẫn chưa xác định được hướng đi và chỉ nhờ vào những “tâm sự chân thành” của những nhà toán học trăn trở trên vấn đề này, gửi gắm cho ông vì tôn sùng “Ông Hoàng toán học” mà ông đã có những ý niệm ngày càng rõ ràng về một hệ thống hình học được chính ông đã gọi là “phi Ơclít”. Chúng ta cho rằng, Gauxơ có thể là nhà toán học thiên tài, xứng đáng là “Ông Hoàng toán học” của thời đại ông, nhưng không xứng đáng là người có công đứng ngang hàng với N. Lôbasépxki và J. Bôia trong công cuộc mở đầu có tính cách mạng, định hình nên hệ thống hình học mới gọi là phi Ơclít.
Con người ta, khi đã được tung hô là vĩ nhân phi thường, luôn quên rằng mình cũng chỉ là một kẻ còn khiếm khuyết, vì thế mà luôn cố gắng giữ gìn cái “vinh quang bất diệt” đó và cũng từ đó mà đã ứng xử một cách “kỳ lạ” trước những phát kiến khoa học mà mình đã không hoặc chưa kịp phát hiện ra được. Một tài năng vĩ đại chắc gì đã có một tâm hồn vĩ đại? Câu hỏi đó thực ra là một câu trả lời, và do đó không nên trách móc làm gì mà có lẽ nên thương cảm nhiều hơn, bởi vì con người ta, ai cũng vậy, sống, lao động gian khổ và chấp nhận những hy sinh với mục đích tối hậu là danh lợi. Dù cố biện minh cỡ nào đi chăng nữa thì nhiều ứng xử của “Ông Hoàng toán học” Gauxơ đã thiếu vắng hẳn tình người và thậm chí là tàn nhẫn (chỉ vì đơn giản là bị ám ảnh bởi nỗi lo ánh hào quang của mình giảm sút đi, hoặc cũng có thể chỉ là biểu hiện của một ẩn ý rất sâu: không ai qua mặt được “vua” và “vua” thì bao giờ cũng vượt trội trong bất cứ lĩnh vực toán học nào một khi đã để mắt tới?).
J. Bôia chính thức bắt tay vào và hoàn thành trong vòng 5 năm công trình lý thuyết về hình học của mình mà ông gọi là “Học thuyết đúng tuyệt đối về không gian”, hay gọi tắt là “Appenđixơ”. Công trình này được công bố vào năm 1832, dưới dạng là phần phụ lục của quyển sách có tựa đề “Tentamen” mà tác giả là Bôia cha, tức là sau ba năm kể từ khi “Bàn về các nguyên lý hình học” của N. Lôbasépxki đã được công bố trên tờ “Thông báo Cadan”.
Sau khi đắn đo, cha con nhà Bôia quyết định xin ý kiến đánh giá công trình của người con từ thần tượng toán học của họ ở Gottinghen, ngài Gauxơ.
Mở đầu bức thư gửi cho Gauxơ, F. Bôia viết: “Gauxơ vô cùng quí mến! Hãy thứ lỗi cho mình vì mình đã làm sao lãng cuộc hành trình của bạn. Hãy tạm dừng lại và dành cho tình bạn một đôi chút.”
Sau khi thông báo ngắn gọn về các công việc của bản thân và của con trai, F. Bôia viết tiếp: “Theo yêu cầu của Janôs, mình gửi đến cho bạn một bản luận văn nhỏ của nó. Với cặp mắt sắc bén và tinh tường, bạn hãy làm ơn xem hộ nó và cho nó một lời kết luận thật khắt khe và không thương tiếc như là mình đang nóng lòng chờ đợi… Con trai của mình coi sự đánh giá của bạn còn cao hơn cả sự đánh giá của toàn châu Âu.”
Sau khi đọc xong “Appenđixơ”, “cặp mắt sắc bén và tinh tường” của vị thần tượng ở Gottinghen thấy ngay ra tất cả. Ông liền viết thư cho một người học trò và cũng là bạn, tên là Gơling đang sống ở Menbuốc:
“Hôm nay tôi nhận được một luận văn không lớn lắm nói về hình học phi Ơclít gửi từ Hungari đến. Ở đây, tôi nhận thấy tư tưởng và kết quả của tôi được phát triển một cách tuyệt vời, mặc dù cách trình bày quá vắn tắt đã làm cho nó trở nên rất khó hiểu đối với ai chưa quen biết lĩnh vực này. Tác giả của nó là một sĩ quan Áo rất trẻ. Anh ta là con trai người bạn thời thanh niên của tôi, người mà hồi năm 1798 vẫn thường cùng tôi bàn luận về vấn đề đó, mặc dù lúc bấy giờ các ý đồ của tôi hãy còn rất xa mới được hoàn thiện và chín muồi như trong công trình độc lập của người thanh niên này. Tôi cho rằng nhà hình học trẻ J. Bôia là một người có tài thiên bẩm bậc nhất.”
Dù rằng đó là những lời khen ngợi thật nhất, bộc phát ra từ trạng thái phấn khích của sự khâm phục rõ ràng, thì Gauxơ, cũng kín đáo lồng vào một ẩn ý là chính ông chứ không phải J. Bôia mới là người có tư tưởng tiên phong đối với vấn đề mà bản luận văn của J.Bôia đề cập đến.
Nhận xét như thế về Gauxơ không phải là vô lý nếu đọc những dòng sau đây của Gauxơ gửi cho F. Bôia:
“… Bây giờ có vài lời về cái công trình của con trai bạn. Nếu như mình xuất phát từ chỗ thấy không cần thiết phải khen ngợi công trình đó, thì lập tức bạn sẽ thấy ngạc nhiên. Nhưng không thể làm khác được vì nếu mình khen ngợi nó thì tức là khen ngợi chính bản thân mình. Nội dung của công trình đó, con đường mà con bạn đi qua và các kết quả mà con bạn đã nhận được đều hầu như trùng với những cái mà mình đã nhận được từng phần trong 30 - 35 năm về trước. Và điều đó làm cho mình hết sức ngạc nhiên.
Mình dự định trong đời sẽ không bao giờ công bố điều gì về một công trình riêng của mình mà hiện tại còn đang nằm trên giấy… Nhưng dù sao mình cũng có ý định ghi lại tất cả vào giấy để cho những ý nghĩ đó ít ra cũng không bị chết theo cùng với bản thân mình.
Chính vì vậy mà mình rất đỗi ngạc nhiên về sự trùng lặp đó và nó làm cho mình thấy cái dự định trên không còn cần thiết nữa. Mình rất vui mừng rằng chính công trình của con trai bạn đã làm cho mình khâm phục vô cùng”.
Thế là thế nào? “Không cần thiết phải khen ngợi” thì sao lại “khâm phục vô cùng” được? Có đúng là Gauxơ đã suy nghĩ về khả năng xây dựng một hệ thống hình học mới, khác với Ơclít từ nhiều năm trước và cũng đã đặt được một nền móng cơ bản và đúng đắn cho nó không, hay vẫn chỉ là những ý tưởng dù có thể có vài ý thực sự xuất sắc nhưng rời rạc, chưa có manh mối để kết nối chúng lại và vẫn chưa từng được viết ra giấy?
Cần nhớ lại rằng, khoảng cuối năm 1804, trong bức thư gửi cho F. Bôia, Gauxơ còn thảo luận về đường lối chứng minh định đề 5 của Ơclít và vẫn còn tin tưởng rằng có thể chứng minh được:
“Phương pháp của anh làm tôi không thích lắm. Tôi muốn tưởng tượng một cách rõ ràng các hòn đá kỳ quái mà tôi tìm được trong phương pháp đó (và nó cũng thuộc loại hòn đá ngầm đã làm vỡ tan các cố gắng của tôi). Tuy nhiên, tôi vẫn tiếp tục hy vọng rằng một lúc nào đó trước khi nhắm mắt, tôi có thể vượt qua được hòn đá đó.”
Thế rồi sau 2 năm, sau 4 năm, 8 năm, 14 năm (tức khoảng năm 1818), Gauxơ còn nói: “Trong lý thuyết các đường song song, đến bây giờ vẫn chưa ai vượt qua được Ơclít”, hay “Chúng ta vẫn chưa nhích khỏi được chỗ đứng của Ơclít cách đây 2.000 năm”. Rõ ràng là đến tận lúc này, ý tưởng về một hình học phi Ơclít chưa mảy may xuất hiện trong đầu của Gauxơ.
Trong những năm 1812 đến hết năm 1816, giáo sư Xvâycát dạy luật ở Trường tổng hợp Kháccốp, nhưng ông lại đam mê lý thuyết về các đường song song. Ngay từ năm 1807, ông đã công bố một phương án chứng minh định đề 5, nhưng chẳng bao lâu sau ông đã thấy ra là mình sai lầm. Cuối cùng ông đã đi đến khẳng định rằng có thể tồn tại, ngoài hình học Ơclít hay còn gọi là “hình học với ý nghĩa hẹp” ra, còn có một hình học khác gọi là “hình học của các vì sao” hay “hình học mở rộng”.
Năm 1817, Xvâycát đến nước Đức. Ở đây ông đã kết bạn với giáo sư Gơling. Như đã kể, Gơling vừa từng là học trò, vừa là bạn của Gauxơ và thường xuyên trao đổi thư từ với Gauxơ. Qua Gơling, Xvâycát biết được Gauxơ cũng rất bận tâm nghiên cứu vấn đề các đường song song. Xvâycát vui mừng quyết định gửi cho “Ông Hoàng toán học” một thông báo nhỏ của mình về “hình học mở rộng”.
Gauxơ thực sự sửng sốt. Ông viết ngay thư cho Gơling: “Thông báo của giáo sư Xvâycát làm cho tôi vô cùng hài lòng và tôi yêu cầu anh chuyển đến ông ta mọi ý nghĩ tốt lành của tôi về vấn đề này. Tất cả mọi cái đó hình như đã in sâu vào tâm khảm tôi”.
Tiếp theo, Gauxơ với trình độ toán học rất sắc sảo và nhạy bén của mình, đã dẫn ra một số luận điểm xuất phát của “hình học mở rộng” mà rõ ràng là Xvâycát đã không thể rút ra được vì không hiểu sâu về toán học. Tuy vậy Gauxơ lại không những không khuyến khích Xvâycát tiếp tục nghiên cứu vấn đề đó mà còn không nhắc nhở gì đến việc công bố cái thông báo khoa học mà Xvâycát đã gửi cho Gauxơ.
Tại sao Gauxơ đã xử sự với Xvâycát như vậy? Cũng có nhiều người gọi Gauxơ là “Ông khổng lồ ở Gottinghen”. Nhưng tại sao “Ông khổng lồ” lại không muốn cho một giáo sư luật là người đầu tiên nói về một “thứ” hình học được gọi là “mở rộng”, bao trùm cả hình học Ơclít? Phải chăng thông báo của Xvâycát đã lần đầu tiên gợi ra ý tưởng về một hệ thống hình học phi Ơclít đối với bộ não mẫn cảm của nhà toán học thiên tài Gauxơ?
Hậu thế có thể không bao giờ trả lời được câu hỏi đó nhưng không thể không biết một chuyện khác đau buồn hơn nhiều.
Tarinuxơ là cháu gọi Gauxơ bằng chú. Cũng như Xvâycát, Tarinuxơ nguyên là một luật sư và đến năm 34 tuổi thì đột nhiên nổi hứng say mê toán học, nhất là hình học với thách đố định đề 5 của Ơclít, và cũng cố gắng tìm cách chứng minh định đề ấy.
Trong quá trình nghiên cứu, Tarinuxơ đã một lần mạnh dạn đưa ra giả thiết rằng, tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180o, và từ đó đã rút ra hàng loạt những định lý quan trọng. Năm 1824, ông gửi công trình của mình cho Gauxơ nhận xét.
Gauxơ đã viết thư trả lời. Nội dung bức thư rất hay, tỏ rõ một tư duy lý luận trác tuyệt nhưng có phần “vơ vào” của “Ông Hoàng toán học”:
“Cái giả thuyết về tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180o, đã dẫn đến một môn hình học độc đáo, khác hẳn với môn hình học của chúng ta. Môn hình học đó hoàn toàn nhất quán và với dụng ý của mình, tôi đã phát triển nó đến mức độ khá đầy đủ. Tôi có thể giải quyết bất kỳ bài toán nào của môn hình học này, trừ việc xác định một hằng số mà giá trị của nó càng không thể xác định được. Nếu cho hằng số đó nhận giá trị càng lớn thì chúng ta càng tiệm cận tới hình học Ơclít, và giá trị lớn vô cùng của nó sẽ làm cho cả hai hệ hình học trùng với nhau. Các giả thiết của môn hình học này có phần nghịch lý và thậm chí còn tỏ ra sai đối với những ai chưa quen, song nếu như suy nghĩ một cách bình tĩnh và nghiêm túc thì thấy chúng không bao hàm điều gì là không thể. Ví dụ, bằng cách lấy các cạnh đủ lớn, có thể làm cho cả ba góc trong tam giác bé tùy ý. Nhưng chính diện tích tam giác lại không thể vì thế mà tăng lên, thậm chí nó cũng không đạt đến một giới hạn nào, dù cho các cạnh của nó lớn đến bao nhiêu chăng nữa. Mọi cố gắng của tôi là phát hiện sự mâu thuẫn và tính chất không nhất quán của môn hình học phi Ơclít. Dù chưa đạt kết quả thì có một điều duy nhất không phù hợp với lý trí chúng ta là, nếu như hệ thống hình học đó đúng, thì trong không gian nhất định phải tồn tại một đại lượng tuyến tính xác định nào đó (mặc dù đại lượng đó ta chưa biết). Nhưng tôi cảm thấy chúng ta hiểu rất ít, hoặc là không hiểu tí gì về bản chất của không gian. Chúng ta không thể trộn lẫn cái mà chúng ta cảm thấy không hiển nhiên với một cái tuyệt đối không thể xảy ra.
Nếu như hình học phi Ơclít mà có thật và hằng số nói trên phụ thuộc vào các đại lượng phù hợp với sự đo đạc của chúng ta ở trên bầu trời hoặc trên trái đất, thì hằng số đó có thể xác định được bằng thực nghiệm. Chính vì vậy, với ý bông đùa, đôi khi tôi mong muốn hình học Ơclít đừng có thật để chúng ta sẽ có một độ đo chiều dài càng tuyệt đối hơn”.
Với một suy luận như thế (tuy rất sâu sắc) thì trong thời gian thảo bức thư này, “Ông Hoàng toán học” vẫn còn rất lưỡng lự, hoang mang trước sự tồn tại hay không tồn tại một hệ thống hình học mà sau này được gọi chính thức là phi Ơclít.
Cuối thư, Gauxơ viết tiếp:
“Đối với những người đã có khả năng lĩnh hội toán học một cách sâu sắc, tôi không sợ họ hiểu sai những điều đã trình bày ở trên, nhưng dù sao, anh cũng coi đây là một sự thông báo riêng mà hoàn toàn không cần phải công bố”.
Rất phấn khởi vì được Gauxơ cho in hai tiểu luận trình bày lời giải của một số bài toán trong lĩnh vực hình học mới, nhưng Tarinuxơ cũng công nhận rằng ông chỉ mới có khả năng đề cập được một phần nhỏ nào thôi về một phát kiến lớn lao đang còn ở phía trước.
Nhớ lời dặn của Gauxơ ở cuối thư, trong lời nói đầu của một trong các tiểu luận, Tarinuxơ chỉ bày tỏ một cách thận trọng và kín đáo rằng, thật là thú vị biết bao giá như được nhìn thấy có một sự công bố nào đó từ nhà toán học lớn nhất châu Âu (tức Gauxơ) về vấn đề đang đề cập.
Tuy nhiên, khi đọc được những lời đó, Gauxơ đã cáu giận ghê gớm, cắt đứt mọi quan hệ với Tarinuxơ. Bị sự ruồng bỏ của người chú và cũng là nhà toán học mà mình tuyệt đối tin tưởng, Tarinuxơ trở nên điên loạn. Trong một lần lên cơn, ông đã đốt tất cả các tiểu luận của mình. Thật là bi kịch!
Cần nhắc lại rằng Lôbasépxki từng cố gắng chứng minh hình học phi Ơclít của mình không có mâu thuẫn nội tại, nhưng chưa thực hiện được. J. Boia cố gắng một cách kiên nhẫn hơn Lôbasépxki nhưng cũng chưa thành công. Còn Gauxơ thì thậm chí chưa thể bắt tay vào làm việc đó. Mãi đến gần nửa thế kỷ sau, nhà toán học người Đức tên là Hilbert mới đạt được bước quyết định trong việc chứng minh sự phi mâu thuẫn của hình học phi Ơclít.
Trong khi giới toán học ở nước Nga vẫn còn giữ thái độ lạnh nhạt, ruồng rẫy phát kiến thiên tài về hình học của vị Hiệu trưởng Trường đại học Cadan thì nó đã vượt biên giới tới nước Đức, được đăng dưới tiêu đề: “Các công trình nghiên cứu hình học” ở Beclin. Với cặp mắt lão luyện, “Ông khổng lồ” Gauxơ đã lập tức thấy ngay ra tầm vóc phi thường của nó, cũng như tài năng toán học kiệt xuất của tác giả sáng tạo ra chúng.
Trước đó, Gauxơ đã từng học sơ qua tiếng Nga trong một lần có dự định sang Nga nghiên cứu và làm việc (đơn thuần là vì sinh kế). Nhưng bây giờ thì sự nỗ lực học tiếng Nga của ông tăng lên gấp bội, vì ông muốn nhanh chóng tự mình tìm hiểu nguyên bản các công trình nghiên cứu của Lôbasépxki.
Vào tháng 2-1841, Gauxơ viết thư cho một học trò của mình, nhà thiên văn học Ônke: “Tôi bắt đầu học được tiếng Nga ở mức độ tương đối nhanh và tìm thấy ở đó một sự hài lòng lớn lao. Krôme đã gửi cho tôi một công trình nhỏ viết bằng tiếng Nga của Lôbasépxki, và qua đó, cũng như qua một công trình không lớn lắm về các đường song song được viết bằng tiếng Đức, tôi trở nên có tham vọng được đọc nhiều hơn về các tác phẩm của nhà toán học thông thái này. Theo lời của Krôme nói với tôi thì trong tập san “Kỷ yếu khoa học của Trường đại học Cadan” bằng tiếng Nga có đăng rất nhiều các công trình của ông ta.”
Sau đó, vào năm 1846, ông lại viết cho bạn mình là nhà thiên văn học Sumakhơ:
“Gần đây, tôi có dịp xem lại quyển sách “Những công trình nghiên cứu hình học” của Lôbasépxki. Nó chứa đựng những nền tảng của một môn hình học mà đáng lẽ phải có một chỗ đứng và đồng thời hoàn toàn nhất quán nếu như môn hình học Ơclít không phải là chân lý. Hình như Xvâycát gọi môn hình học đó là hình học các vì sao, còn Lôbasépxki gọi nó là hình học trừu tượng. Anh biết rằng đã 50 năm qua (từ 1792), tôi cũng có những khẳng định như vậy (về sau tôi có mở rộng thêm một ít, song tôi chưa muốn dừng ở đấy). Qua các tài liệu, công trình của Lôbasépxki không có gì mới đối với tôi, nhưng tác giả đã phát triển theo một con đường khác, hoàn toàn không giống tôi. Lôbasépxki đã hoàn thành công trình đó với một nghệ thuật tinh xảo, với một nội dung hình học thực sự. Tôi thấy có trách nhiệm lưu ý cho anh quyển sách đầy thú vị này.”
Lần này, dù vẫn còn thói quen “tự kỷ ám thị” thì Gauxơ cũng đã bày tỏ sự khâm phục đối với tài năng của nhà toán học người Nga và trong công khai, ông còn đề nghị bầu Lôbasépxki “với tư cách là nhà toán học xuất sắc nhất nước Nga” làm một hội viên thông tấn của Hội khoa học hoàng gia Gottinghen (tương đương với viện sĩ thông tấn của Viện hàn lâm khoa học), do chính ông làm giám đốc. Tuy nhiên có điều lạ lùng là dù coi trọng Lôbasépxki như thế thì chưa một lần nào Gauxơ trao đổi thư từ với Lôbasépxki và ngay cả trong các lý do bầu Lôbasépxki vào Hội khoa học hoàng gia Gottinghen cũng không có một dòng nào nhắc đến Công trình sáng tạo ra “hình học trừu tượng” của ông.
Một lần, vào mùa hè năm 1844, trên một tờ báo ở Hungari xuất hiện bài viết của nhà toán học Mentôvich. Ông này đã kể lại về cuộc gặp gỡ và đàm thoại của ông với Gauxơ. Gauxơ đã hỏi han khá nhiều về người bạn già F. Bôia và con trai ông ta, rồi sau đó đưa cho Mentôvich quyển “Các công trình nghiên cứu toán học” của Lôbasépxki đồng thời nói bóng gió, đại ý rằng:
Sự trùng hợp đáng ngạc nhiên giữa các tư tưởng, quan điểm của Lôbasépxki và của J. Bôia là một điều hết sức kỳ lạ; và vì tất cả các công trình của Lôbasépxki đều được in bằng tiếng Nga nên người Hungari tất phải đọc được (Gauxơ lầm rằng tiếng Hungari cũng là thứ tiếng có nguồn gốc Slavơ như tiếng Nga).
Phải bốn năm sau cha con nhà Bôia mới tình cờ đọc được bài báo này. Nội dung bài báo đã thúc giục J. Bôia tìm đọc cho được nội dung của quyển sách mà tác giả là một nhà toán học người Nga nào đó có tư tưởng hình học trùng lặp với tư tưởng của ông. Cuối cùng thì J. Bôia cũng có quyển sách đó trong tay.
Đọc xong cuốn sách, tâm trạng J. Bôia trở nên phấn khích pha lẫn bấn loạn:
“Nếu như trong tác phẩm nổi tiếng này, tác giả đã đi bằng những con đường hoàn toàn khác thì tinh thần và các kết quả của nó lại trùng với “Appenđixơ” đã được công bố vào năm 1832 của tôi. Theo lời của Gauxơ thì ông đã ngạc nhiên vô cùng về sự trùng lặp thú vị giữa công trình của nhà toán học Hungari và công trình của nhà toán học Nga. Thành thực, điều đó cũng làm tôi không kém phần ngạc nhiên.
Lẽ tất nhiên, bản chất của sự thật trăm phần trăm dù ở Hungari, ở Camsátca (quê của Lôbasépxki) hay thậm chí là ở cả trên mặt trăng, hoặc trên cả thế giới này chăng nữa thì cũng đều như nhau. Cái gì mà đã được một người nào đó phát hiện ra thì cái đó tất nhiên một người khác cũng có thể phát hiện ra. Thêm vào đó, sự ra đời của các công trình trí tuệ, cũng giống như các sản phẩm của thiên nhiên theo quá trình phát triển của loài người, đều mang tính thời đại!... Và cuối cùng, ngay cả lý thuyết về các đường song song cũng không có gì đặc biệt khó và huyền bí cả. Nếu như thấy rằng, trước đây thậm chí trong số các nhà toán học ưu tú biết suy nghĩ sâu sắc, có rất ít người nhận thấy được cái lỗ hổng này trong môn hình học để ra sức bổ sung cho nó; nếu như có thể thấy rằng, qua một thời gian dài dằng dặc bắt đầu từ Ơclít, mặc dù đã có những công trình nghiên cứu đặc biệt sâu sắc trong lĩnh vực này mà vẫn chưa thấy xuất hiện điều gì đáng kể, dù chỉ là trên báo chí thôi; và nếu như lưu ý tất cả những điều đó, thì thử hỏi vị tất dựa vào điều gì để có thể giả thiết được rằng, có hai hoặc ba người hoàn toàn không biết gì về nhau lại hầu như cùng một lúc, và mặc dù bằng những cách khác nhau, có thể cùng hoàn toàn giải quyết trọn vẹn vấn đề?...”
Cay đắng và bấn loạn đã làm cho J. Bôia mất sáng suốt, đi đến những suy diễn hoàn toàn cảm tính để rồi nghi ngờ hết người này đến người khác đã âm mưu chiếm đoạt thành quả của mình và cuối cùng thì chĩa hẳn mũi dùi về phía con người đã từng một lần từ chối cưu mang ông, một lần gây cho ông một vết thương lòng nặng nề: “Nhưng cũng có thể là thần tượng Gottinghen vì không thể để cho một người khác vượt mình trong lĩnh vực này, nhưng vì không thể cản được người đó cho nên ông đã ra tay gia cố lại cái lý thuyết đó dưới cái tên Lôbasépxki…”
Tuy nhiên, khi đã trở nên bình tĩnh và suy xét lại thì chính bản thân J. Bôia cũng đã thấy ra sự phi lý của các mối nghi ngờ đó. Vốn dĩ là một con người trung thực và cao thượng, sau này, J. Bôia có viết trong hồi ký của mình:
“Tôi vô cùng vui mừng khi thấy có khá nhiều người quan tâm đến vấn đề này, thậm chí giả sử họ đi bằng những con đường hơi khác. Với tình cảm anh em, tôi chìa tay chúc mừng tác giả, con người mà tôi đã cảm thấy gắn bó về mặt tư tưởng, và vì lẽ đó, tôi xin nhận lỗi về sự nghi ngờ sai lầm và thiếu cơ sở của mình…
… Và tôi đặc biệt chúc mừng cho hạnh phúc của đất nước đã sản sinh ra một thiên tài lỗi lạc như vậy, đất nước mà khắp mọi nơi là thô bạo và khắc nghiệt, đất nước mà những tư tưởng tự do và tiên tiến đều bị chặt cánh và bị trói buộc trong gông xiềng hoặc cạm bẫy, làm cho chúng không thể nào phát triển được…”
Chỉ qua những trao đổi thư từ có tính cách riêng tư đối với bạn bè và đồng nghiệp của Gauxơ đã trích dẫn ở trên thôi, chúng ta cũng phần nào đoán nhận ra được là dù cho sau này Gauxơ đã từ bỏ niềm tin chứng minh được định đề 5, dù ông rồi cũng nhận thấy khả năng tồn tại một cách có lý của một hệ thống hình học khác với hình học Ơclít, và có thể cũng âm thầm nghiên cứu nó, thì cho đến tận khi đã đọc công trình của Lôbaxépxki, ông vẫn không tài nào giũ bỏ được ý nghĩ cho rằng một hệ thống hình học nào đó được sáng tạo bởi con người, (dựa trên một giả thiết phù hợp lôgic nhưng tính trực giác thì lại “yếu hơn” định đề 5 của Ơclít rất nhiều) khác với hình học Ơclít lại có thể thay thế được hình học Ơclít trong việc mô tả minh bạch mà trực giác cũng thừa nhận là xác đáng (ít ra là trong phạm vi nhìn thấy được) đối với không gian thực tại. Phải chăng Gauxơ đã là đại diện xuất sắc nhất và cuối cùng của các nhà toán học tạm gọi là có lối “tư duy thực chứng” và vì thế mà Gauxơ chỉ vĩ đại với tư cách là nhà toán học ứng dụng thiên tài?
Lịch sử cho thấy dù đã từng thuần phục dưới ánh hào quang của “Ông Hoàng toán học”, nhưng cả ba người J. Bôia, Xvâycát, Tarinuxơ đã đóng vai trò tiên phong, tiếp tục khai phá ra con đường mà trước đây Saccheri đã mở lối nhưng bỏ dở, và ở những mức độ khác nhau, họ đều đã đến với hình học phi Ơclít. Với thành tích của ba nhà khoa học đó và của cả Lôbaxépski, trong đó Lôbaxépski và J. Bôia là hai người kiệt xuất, được hậu thế vinh danh là những người đầu tiên xây những căn nhà hoàn chỉnh trong thế giới không gian phi Ơclít. Có thể khẳng định rằng lần đầu tiên trong lịch sử phát triển môn hình học, một cách chính thức, sự tư duy “bám víu” vào thực chứng đã phải nhường bước cho sự tư duy thăng hoa đầy những tưởng tượng “phi thực tại”.
Sự dị thường trong cách đối xử của “Ông Hoàng toán học” đối với những người đi những bước đột phá trong vấn đề liên quan đến định đề 5 của hình học Ơclít, cùng với những lời đánh giá, khen - chê những công trình của họ, một cách lập lờ nước đôi rõ ràng là có chủ ý nếu không phải đen tối thì cũng không mã thượng, được nhiều người đời sau giải thích rằng “Ông Hoàng toán học” làm như vậy là bởi cái bản tính thận trọng, sợ ảnh hưởng xấu đến cái uy tín đã được dát vàng và đang lừng lẫy của ông. Chúng ta cho rằng, giải thích như thế là chưa đầy đủ. Có một sự thật không thể chối cãi được, biểu hiện ra từ những ứng xử của “Ông Hoàng toán học”, đối với những “thần dân” đi khám phá những bí ẩn của hình học có nguồn gốc từ sự thiếu hiển nhiên của định đề 5, đó là hầu như không có sự khích lệ, động viên nào của “ông vua” đối với những người đó, mà trái lại còn cố ý “bình thường hóa” những phát kiến của họ theo hướng ngụ ý rằng: những cái mà “các ngươi” đã và đang làm được, có thể là mới lạ đối với ai thôi chứ “đức vua” thì đã biết tỏng từ lâu. Tài năng toán học lỗi lạc của Gauxơ cùng với sự nỗ lực không mệt mỏi của ông trong nghiên cứu khoa học đã đem đến cho ông những thành tựu phi thường để từ đó mà bản thân ông được đương thời (và cả hậu thế) hết mực tôn vinh, kính trọng đặt vào vị trí quyền uy và danh vọng cao nhất mà trong thể chế phong kiến khó lòng mơ ước được: Thiên tử; mà trong việc so sánh tài năng là “Nhà toán học bậc nhất Châu Âu”, hay: “Ông khổng lồ ở Gottinghen”, và ông hoàn toàn xứng đáng được hưởng thụ những “danh bất hư truyền” ấy, cũng như được quyền chìm đắm trong một vầng thái dương hào nhoáng của “vinh quang đời đời”. Tuy nhiên, phải chăng cũng chính vì như thế mà trong sâu thẳng tâm hồn của Gauxơ đã âm thầm nảy sinh ra sự ngạo mạn và khi tâm hồn đã bị sự ngạo mạn chế ngự thì dù có cố khiêm tốn đến mấy cũng không thể che lấp được biểu hiện tổng hòa của những: đố kỵ, vị kỷ… và sẽ phải dẫn đến kết quả cuối cùng là sự nhẫn tâm vô tình.
Chúng ta vẫn còn nhớ được hai trường hợp nói năng, ứng xử của Gauxơ cũng đại loại như thế mà không liên quan gì đến những phát kiến mới trong hình học.
Đây là trường hợp thứ nhất. Trong khi vấn đề chứng minh Định lý cuối cùng của Fecma nổi lên như một sự kiện có tính thời sự ở Châu Âu thì Gauxơ chẳng có một biểu hiện công khai nào về nó. Hơn nữa, trong một bức thư, thậm chí Gauxơ còn bộc lộ sự khinh bỉ đối với bài toán đang được nhiều người đặc biệt quan tâm và bàn luận sôi nổi đó. Thật là lạ lùng! Có thể nào trong thầm kín, ông đã từng đối đầu với nó và phải chịu bất lực tương tự như bài toán chứng minh định đề 5 của Ơclít? Bạn ông, nhà thiên văn người Đức tên là Heinrich Olbers đã viết thư động viên ông: “Gauxơ thân mến, mình nghĩ rằng bạn nên để tâm về chuyện đó”. Hai tuần sau, Gauxơ trả lời: “Tôi rất cảm ơn anh đã cho tôi biết tin về giải thưởng ở Pari. Nhưng tôi buộc phải thú nhận rằng Định lý cuối cùng của Fecma với tư cách chỉ là một mệnh đề cô lập ít có sự thu hút đối với tôi, vì bản thân tôi cũng có thể đặt ra rất nhiều những mệnh đề như vậy mà người ta không thể chứng minh hoặc bác bỏ được”.
Khi viết ra những dòng như thế, không biết “Ông Hoàng toán học” có nhớ tới cái vinh danh cũng thật lẫy lừng của Fecma là “Ông Hoàng nghiệp dư” hay không? Hơn nữa, định lý lớn Fecma chắc gì đã cô lập hơn định đề 5 Ơclít?
Tiếp theo là trường hợp thức hai. Aben là nhà toán học trẻ kiệt xuất người Nauy, tác giả của lý thuyết hàm số eliptic và đồng thời với Galoa nhưng theo một con đường khác đã chứng minh tính không giải được bằng căn thức đối với phương trình bậc năm. Trước những phát kiến toán học tuyệt vời của Aben, Gauxơ đã viết thư sang Pháp rằng:
“Những công việc khác đã cản trở tôi trong việc sửa chữa lại các nghiên cứu trước đây. Aben đã lặp lại hầu như đến ba công trình của tôi. Anh ta đã đi theo con đường mà tôi đã đi từ năm 1798. Vì thế, tôi không ngạc nhiên khi thấy anh ta đã thu được những kết quả giống như tôi. Tuy nhiên, vì trong quá trình tính toán, anh ta đã tỏ ra có nhiều tài năng và khéo léo, đến mức làm tôi thấy không phải sửa chữa lại các kết quả của mình”.
Bức thư đó đã làm cho các nhà toán học Pháp rất bất bình. Đến nỗi nhà toán học Lêgiandrơ nói toạc ra rằng:
“Không thể tồn tại một phát minh nào mà anh có thể cho là của mình nếu như phát minh ấy đã được tìm ra từ nhiều năm trước nhưng nếu không chứng minh được nó đã công bố ở đâu, ở tạp chí nào mà cứ tự nhận thì điều đó không thể chấp nhận được và chỉ làm cho tác giả thực sự của phát minh bị uất ức. Trong toán học thường thấy có người tìm được những vấn đề mà người khác đã tìm ra và mọi người đã biết, điều tương tự cũng đã xảy ra đối với tôi nhiều lần. Nhưng tôi không bao giờ kể đến chúng và không bao giờ gọi chúng là “Những nguyên lý của tôi” nếu như chúng đã được công bố trước các công trình của tôi”.
Có lẽ chỉ trừ những kẻ mất trí, còn tất cả ai cũng luôn hành động vì mục đích danh lợi (về vật chất cũng như tinh thần và có thể là cho cá nhân mình hoặc cho cả cộng đồng). Bản chất của con người là vậy. Và cũng vì vậy mà có thể lấy đặc tính này làm cơ sở xuất phát để giải thích mọi biểu hiện về tâm hồn, mọi hành động, ứng xử dù lạ lùng và thậm chí là kỳ quặc của một con người.
Cuộc đời của Gauxơ đã thể hiện: ông vĩ đại khi là nhà toán học có công lao to lớn đối với nhân loại và ông tầm thường khi là con người bị sự ngạo mạn khuynh đảo.
Cũng nên kể thêm rằng, phải khá lâu sau khi đọc phần phụ lục trong cuốn sách của F. Bôia, Gauxơ mới giãi bày cho người bạn thân và luôn tôn trọng mình thế này:
“Tha thứ cho tôi nhé, Farkas! Từ mấy năm trước tôi đã thầm mong anh tha thứ cho tôi vì tôi đã không đáp ứng thư anh. Tôi không biết phải khuyên bảo con trai anh thế nào khi biết rằng anh đã đau khổ một đời vì bài toán đường thẳng song song. Tôi cũng như anh và như nhiều nhà toán học lớn khác đều rút ra kết luận rằng không thể chứng minh được định đề thứ năm như một định lý. Tôi cũng giống như con trai anh đã sớm hiểu rằng, do nó là một định đề kém hiển nhiên cho nên hoàn toàn có thể xây dựng một định đề khác thay cho nó. Song, điều mà con trai anh đã làm cũng như bây giờ một anh chàng Lôbasépxki nào đó ở nước Nga xa xôi đã làm một cách công khai, thì tiếc thay tôi lại không thể nào làm được. Cái vinh dự dù có là hão huyền đem đến cho tôi trên cương vị một người cầm cân nảy mực trong toán học không thể cho phép tôi hấp tấp đưa ra một lời đánh giá…”
Dù là muộn màng thì Gauxơ cũng đã có lời xin lỗi chân thành đến người bạn thâm niên của mình. Không thể không nghĩ rằng chính sự áy náy không thể giũ bỏ được trong tâm hồn suốt một thời gian dài và “nổi cộm” lên khi xuất hiện “niềm tự hào toán học của nước Nga” trên đất Đức đã thúc giục Gauxơ thốt ra những lời trần tình đó. Gauxơ đã nhận lỗi, tuy nhiên, theo chính ông biện bạch thì nguyên nhân dẫn đến lỗi lầm đó là do tình thế khách quan đòi hỏi, vì sự trong sáng của toán học. Về vấn đề này, J. Bôia có đưa ra lời nhận xét:
“Theo ý tôi và tôi tin tưởng một cách chắc chắn rằng theo ý kiến của bất kỳ một người hãy còn tỉnh táo nào cũng thế, các nguyên cớ mà Gauxơ đưa ra để giải thích cho việc suốt đời ông ta không hề muốn công bố một điều gì thuộc các công trình riêng của ông về vấn đề này (tức về hình học phi Ơclít - NV) là hoàn toàn không đứng vững và không đáng phải để ý. Vì lẽ, trong khoa học cũng như trong cuộc sống hàng ngày, mục tiêu chính là phải làm sao ra sức giải thích và làm rõ nét những điều có tính chất cấp thiết và hữu ích chung, đặc biệt là những điều còn chưa được rõ ràng lắm, và đồng thời cố gắng thức tỉnh những nhận thức còn mơ hồ về sự thật. Chính đó mới là những điều cần làm để khẳng định và phát triển lên. Rất tiếc rằng, vốn dĩ bẩm sinh không phải ai cũng lĩnh hội được toán học, nhưng đó đâu phải là cơ sở và lý do làm cho Gauxơ cứ giữ kín một phần các công trình có giá trị của mình. Đành rằng, đáng tiếc là trong giới toán học vẫn còn có những người thậm chí nổi tiếng mà lại tỏ ra nông cạn, song đó không phải là lý do cứ để cho hậu thế lướt qua trong khi khoa học vẫn giữ nguyên tình trạng mơ màng của nó như là nó đã tiếp thu được từ quá khứ. Chính vì lẽ đó mà người ta cảm thấy vô cùng khó chịu khi đáng lẽ ra phải thành thật và thẳng thắn công nhận giá trị lớn lao của “Appenđixơ” và cả “Tentamen”, đồng thời cần biểu lộ lòng hân hoan và sự suy nghĩ của mình một cách rộng rãi, thì Gauxơ lại cố lảng tránh những vấn đề đó, đồng thời vội vàng bộc lộ những ý nguyện cực đoan và tự trách cứ, vin vào cái lý do là con người còn chưa đủ khả năng nhận thức. Tất nhiên, cuộc đời hoạt động và công lao… của một nhà khoa học đâu phải ở chỗ ấy.”
¯¯¯
Nếu N. Lôbasépxki và J. Bôia là hai nhà toán học làm xuất hiện ra môn hình học phi Ơclít thì Riman (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 - 1866), nhà toán học thuộc thế hệ kế cận, là người phát triển và mở rộng nó, đưa nó lên một tầm khái quát cao, đến gần hơn với sự hoàn thiện. Nói cho công bằng thì Gauxơ cũng là người có nhiều công lao trên bước đường phát triển của môn hình học mới này.
Riman là con thứ hai trong sáu người con của một vị mục sư tin lành tại một làng nhỏ ở Breselenz trong vùng lân cận thành phố Hanover thuộc nước Đức. Ông lớn lên trong điều kiện sinh hoạt thiếu thốn nên ốm đau suốt.
Lúc 6 tuổi, Riman đã bắt đầu biểu hiện năng khiếu toán học thiên bẩm khi ông không những giải được bất kỳ bài toán nào được thầy giáo giao cho mà còn tự nêu ra những bài toán làm cho chính thầy giáo cũng phải ngạc nhiên. Năm lên 10 tuổi, Riman được một thầy giáo toán có nhiều kinh nghiệm truyền dạy. Nhiều lần Riman đưa ra những lời giải toán còn hay hơn cả người thầy này nữa. Năm 14 tuổi, Riman có lần còn làm ra một kiểu lịch vĩnh cửu để làm quà tặng cho cha mẹ.
Năm 1846, khi đã là chàng trai 19 tuổi, Riman thi đậu vào Trường Đại học Gottinghen để học thần học. Ông quyết định như vậy là để vừa lòng cha, người muốn con trai noi theo mình để trở thành tăng lữ. Tuy nhiên, vốn yêu thích toán học từ nhỏ nên Riman nhanh chóng bị thu hút bởi những bài giảng toán học của các nhà toán học lỗi lạc giảng dạy tại trường đại học này, trong đó có Gauxơ thiên tài. Niềm say mê toán học lại bùng lên trong lòng Riman làm ông không thể chống nổi và đã chuyển sang theo học ngành toán với sự đồng ý một cách miễn cưỡng của người cha.
Sau một năm ở Gottinghen, Riman chuyển sang Đại học Béclin để nghe truyền thụ những vấn đề mới nhất về toán học từ các bài giảng của các nhà toán học xuất sắc như Jacobi, Steiner, Dirichlet… Riman chăm chỉ học hỏi, nghiên cứu đủ mọi lĩnh vực: tôpô, lý thuyết hàm, vật lý toán, động lực học chất khí, lý thuyết điện từ, tâm lý học… Nhờ vậy mà trình độ toán học của ông nhanh chóng đạt đến đỉnh cao.
Năm 1849, Riman trở lại Trường Đại học Gottinghen để làm luận án tiến sĩ. Người hướng dẫn luận án tiến sĩ cho ông không phải ai khác, mà chính là “Ông Hoàng toán học” Gauxơ. Bắt đầu từ đây, năng lực toán học phi thường của Riman nở rộ và vô cùng rực rỡ. Ông đã có một đóng góp quan trọng cho hình học phi Ơclít (đó là hệ thống hình học được gọi là Eliptic mà sau này chúng ta sẽ còn nói tới), và cho lý thuyết số. Riman nổi tiếng với hàm “Zeta” mà ông sáng tạo ra, một lý thuyết giúp nghiên cứu số nguyên tố thông qua giải tích hàm phức. Bài toán tìm những giá trị của một biến phức sao cho hàm Zeta triệt tiêu đã trở thành một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong toán học.
Đầu tháng 11-1851, Riman trình bày luận án tiến sĩ với tiêu đề “Cơ sở lý thuyết tổng quát của hàm biến phức”. Công trình này mang một trình độ toán học rất cao, trở thành một đóng góp lớn cho toán học thế giới. Nó xuất sắc đến nỗi làm cho Gauxơ phải ca ngợi hết lời. Việc ca ngợi một công trình không phải của mình là một cử chỉ chưa từng có và không bao giờ lặp lại của “Ông Hoàng toán học”.
Ngay khi còn ở Trường Đại học Béclin, Riman đã nghiên cứu rất sâu về lĩnh vực các phương trình vi phân, vật lý toán và mơ ước vươn lên hàng đầu trong những lĩnh vực này. Năm 1850, sau khi xem xét những bài toán trong nhiều lĩnh vực của toán học cũng như vật lý học, Riman có một niềm tin triết học mạnh mẽ rằng, có thể xây dựng nên một lý thuyết toán học hoàn chỉnh, trong đó chứa đựng tất cả các định luật tương tác giữa các điểm như hấp dẫn, điện từ, truyền nhiệt…, dưới dạng một tổng quát hóa bao quát được mọi quá trình diễn ra trong không gian vật lý liên tục. Chính tư tưởng này đã đưa Riman đến việc tạo ra một đột phá táo bạo mà cũng thật kỳ diệu về hình học, tạo thế cho bước nhảy lớn đối với toán học và cả vật lý học trong tương lai sau đó.
Năm 1854, Riman được bổ nhiệm giảng dạy tại Trường Đại học Gottinghen với tư cách một giảng viên được trả lương bằng tiền của chính sinh viên đóng góp (đây là vị trí thông thường đầu tiên của các giảng viên tại các trường đại học Đức thời đó). Theo thủ tục truyền thống thì Riman phải trình bày một công trình chưa được công bố, với hội đồng khoa học của nhà trường như một nghi thức bắt đầu.
Cũng theo truyền thống, Riman phải đưa cho hội đồng khoa học ba chủ đề nghiên cứu khác nhau, xếp hạng theo thứ tự ưa thích của tác giả. Thông thường, hội đồng khoa học ấn định chủ đề thứ nhất, nếu không thì cũng chủ đề thứ hai, chứ rất ít khi ấn định chủ đề thứ ba. Vì thế, Riman chọn hai chủ đề đầu thuộc những lĩnh vực nghiên cứu sở trường của ông và ông cũng ưu tiên chuẩn bị rất kỹ lưỡng. Chủ đề thứ ba thuộc về hình học. Do đã chủ tâm dồn nỗ lực cho hai chủ đề kia nên lúc đầu, Rinan chỉ dự định chuẩn bị một cách tương đối hình thức cho chủ đề sau cùng này.
Thế nhưng Gauxơ, một nhà toán học đại tài đã từng phải trăn trở trong biết bao nhiêu thời gian về định đề 5 Ơclít; một “Ông Hoàng toán học” đã từng bị giằng xé niềm tin đối với sự tồn tại của hình học phi Ơclít nhiều năm trời, và đang bước những bước cuối cùng của cuộc đời trong tình trạng già nua, lại có một suy nghĩ khác. Trước đây, dù vẫn chưa “xua đuổi” được ý nghĩ hệ thống hình học Lôbaxépski - J. Bôia lại có thể thay thế hình học Ơclít trong việc mô tả đúng đắn hơn về không gian thực tại khách quan được, thì Gauxơ vẫn - trên cương vị là nhà toán học thuần túy, đã suy luận rất nhiều (một cách riêng tư!) đối với vấn đề đó và đã đi đến một tư tưởng về độ cong của không gian. Ông đã chỉ ra rằng độ cong của không gian Ơclít là bằng 0; độ cong của mặt cầu (tương đương với không gian Eliptic) là dương và độ cong của mặt phẳng trong không gian Lôbaxépski - J. Bôia (trái ngược với mặt cầu) là có giá trị âm. Biết rõ năng lực toán học siêu phàm của Riman và cũng để thỏa mãn được những cái còn khúc mắc trong lòng mình về tính chân lý của hình học mới, Gauxơ ấn định cho Riman trình bày chủ đề thứ ba với nội dung mang tựa đề: “Bàn về những giả thuyết dùng làm cơ sở của môn hình học”.
Với sự lựa chọn đó của “Ông Hoàng toán học”, Riman đã phải ngay lập tức quay sang chuẩn bị ráo riết cho chủ đề thứ ba.
Cần nhắc lại rằng, trước đó trong khi tập trung nghiên cứu lý thuyết số và toán lý, Riman cũng đồng thời tranh thủ thời gian để tìm hiểu cặn kẽ những lý thuyết đi tiên phong trong lĩnh vực hình học, và đã nghiên cứu vấn đề độ cong của không gian một cách hoàn toàn độc lập với khái niệm độ cong của Gauxơ cũng như của Lôbaxépski và J. Bôia. Trong ông đã hình thành ngày một rõ ràng cái ý tưởng rằng, có thể xây dựng được một lý thuyết hình học rộng lớn hơn, có tính tổng quát cao độ trên cơ sở thống nhất các lý thuyết hình học đang có. Ý tưởng đó chưa được nghiên cứu triển khai vì Riman còn bận bịu theo đuổi các bài toán trong những lĩnh vực khác. Tuy nhiên sự nung nấu và ấp ủ về một lý thuyết hình học tổng quát của Riman cũng đã bắt đầu bước vào giai đoạn chín muồi về mặt tư tưởng và “cú hích” đúng lúc của Gauxơ đã làm bừng nở ra môt công trình hình học súc tích đến trác tuyệt, khúc chiết đến kỳ quan của nhà toán học thiên tài trẻ tuổi.
Dù thời gian chuẩn bị chỉ còn eo hẹp nhưng Riman đã nỗ lực nghiên cứu và nhanh chóng triển khai để rồi cũng kịp hoàn tất “bài giảng thử” của mình. Ngày 10-6-1854, Riman đã trình bày công trình của mình trước Hội đồng khoa học ở Trường Đại học tổng hợp Gottinghen. Ngày hôm đó đã trở thành ngày “giảng thử” nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học và nó được đồng nghiệp của Riman ca ngợi như một công trình bậc thầy.
Tư tưởng và nội dung của công trình hình học đó của Riman đã dẫn đến những nhận thức mới hết sức sâu sắc trong toán học và cả trong vật lý học. Chẳng hạn nó đã dẫn tới một lý thuyết hoàn toàn mới là hình học vi phân. Lĩnh vực này đã được phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XIX và dường như đạt tới cực điểm vào năm 1979 bởi bài thuyết trình của nhà hình học cỡ hàng đầu thế giới lúc đó là S. S. Chern, tại trường Đại học Princeton nhân dịp kỷ niệm 100 năm ngày sinh của Anhxtanh, dưới tiêu đề “Tương đối và hình học vi phân hậu Riman”. Hay sau này, Anhxtanh, người được tôn vinh là “nhà vật lý vĩ đại nhất thế kỷ XX”, đã tìm thấy ở công trình đó của Riman một công cụ toán học cực kỳ hữu hiệu để viết phương trình trường tổng quát trong thuyết tương đối rộng của ông…
Vài tháng sau buổi thuyết trình ấy, ông khổng lồ toán học Gauxơ, người có thể là duy nhất hiểu rõ được phát kiến thiên tài của Riman, qua đời mà chưa kịp công bố đánh giá gì về “bài giảng thử” sẽ đi vào bất tử đó.
Bài giảng thử còn tạo ra một thành công khác trong cuộc sống của Riman. Ông nhận được 8 sinh viên (diện phải đóng tiền) theo học thay vì chỉ 2 hoặc 3 người như thường lệ nên thu nhập của ông có khá hơn. Năm 1857, Riman trở thành phó giáo sư của Trường Đại học và chỉ hai năm sau, ông đã thay thế Dirichlet ngồi vào chiếc ghế đầy uy tín và tự hào của Gauxơ. Được lựa chọn vào vị trí của “Ông Hoàng toán học” tại Trường Đại học tổng hợp Gottinghen đã là sự biểu lộ cảm phục mà Riman nhận được từ đồng nghiệp ở trường đại học và hơn nữa, từ toàn thể các nhà toán học trên thế giới.
Vốn dĩ có thể tạng ốm yếu từ nhỏ, lại phải chịu áp lực nặng nề bởi sự hối thúc cấp bách trong công việc nghiên cứu, nên sức khỏe của Riman giảm sút nghiêm trọng. Ngay từ sau những ngày làm việc hết sức căng thẳng đối với những vấn đề cực kỳ khó khăn về lý thuyết hình học, vật lý toán, vật lý hàm… trong quá trình chuẩn bị cho bài giảng thử, ông đã bị đổ bệnh, Để hồi phục, ông đã thuê một căn nhà có vườn thoáng đãng và cố dành nghiều thời gian hơn cho sự nghỉ ngơi, dưỡng bệnh. Nhưng sức khỏe của ông không tiến triển được bao nhiêu. Năm 1862, Riman lại trở bệnh, phổi của ông có vấn đề. Nhà nước Đức đã trợ cấp cho ông du lịch đến vùng có khí hậu êm dịu ở nước Ý để an dưỡng. Ở đó sức khỏe của ông có phần được cải thiện nhưng khi trở về Gottinghen thì lại chuyển biến xấu. Trong vài năm, cứ thế, Riman đi đi về về giữa Gottinghen và Ý. Cảm thông tình trạng đó của ông, Trường Đại học Pisa đã đề nghị dành cho ông môt chức giáo sư ở đó, nhưng ông không thể nhận vì sức khỏe của ông đã suy sụp rất nhiều và trở nên tồi tệ không thể cứu vãn. Riman đã mất vì bệnh lao phổi tại một biệt thự ở Lago Maggiore thuộc miền Bắc nước Ý vào tháng 7-1866, hưởng dương 39 tuổi, để lại một sự nghiệp khoa học đang trên đà phát triển thần tốc và cực kỳ xuất sắc. Có thể nói rằng sự xâm nhập một cách xuất sắc của lý thuyết toán học vào lĩnh vực vật lý học ứng dụng bắt đầu từ Riman và sau đó được triển khai mở rộng vào cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX là một trong những trang chói lọi nhất của lịch sử toán học hiện đại.
Cho đến ngày nay, đối với chúng ta, những người không am tường toán học, thì việc nhận thức tầm vóc lớn lao về tư tưởng cũng như nội dung hàm chứa trong công trình sáng tạo “Bài giảng thử” của Riman thiên tài, dù chỉ ở mức khái lược thôi, cũng thật là khó khăn. Thế nhưng trong vai trò một người kể chuyện, chúng ta sẽ cố gắng lột tả cái tầm vóc lớn lao đó bằng cách tóm tắt các đánh giá của những người kể chuyện đi trước (mà chúng ta tin rằng trình độ toán học của họ vượt trội hơn chúng ta nhiều).
Như đã kể, Saccheri, dù là vô tình và cũng chưa thấy hết, nhưng đã là người đầu tiên phanh phui ra cái huyền bí của định đề 5 Ơclít, khi mưu toan chứng minh nó như một định lý bằng phương pháp phản chứng. Kết luận đầu tiên trong quá trình chứng minh này mà Saccheri rút ra được là nếu định đề 5, hay tương đương với nó: tổng các góc trong của một tam giác bằng 180o, là một mệnh đề sai, thì để đảm bảo tính duy nhất của chân lý, mệnh đề: tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) 180o phải đúng. Một cách tương đối dễ dàng và nhanh chóng, Sacchenri đã thành công trong việc bác bỏ tổng ba góc lớn hơn 180o, vì nó mâu thuẫn với tất cả các định đề còn lại của Ơclít. Tuy nhiên, ông đã không tài nào phủ nhận được trường hợp tổng ba góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180o, hơn nữa còn rút ra được nhiều mệnh đề quan trọng trong quá trình lập luận mà không gặp bất cứ mâu thuẫn nào. Sống trong một thời đại còn bị trói buộc rất chặt bởi niềm tin tuyệt đối vào sự tồn tại duy nhất của cái không gian mà con người trực giác được và sự mô tả tính chất cũng như cấu trúc của nó - hình học Ơclít, được coi là chân lý bất di bất dịch một cách hiển nhiên, đã làm cho Saccheri phải đi đến một quyết định cực đoan là phủ định tính hợp lý “không chê vào đâu được” trong các lập luận của mnìh, rời bỏ con đường đã mở ra trước mắt ông một quang cảnh kỳ diệu mà thậm chí là ông đã quan chiêm được nhưng lại cho rằng đó là một ảo ảnh hoang đường. Saccheri đâu thể biết được rằng, nhìn ở góc độ nào đó thì một ảo ảnh hoang đường cũng là thực tại và hình học Ơclít lại cũng chỉ là một ảo ảnh hoang đường!.
Thời gian trôi đi, tư duy của loài người càng thêm nung nấu trước những đòi hỏi phải được giải quyết rốt ráo đối với những khúc mắc nan giải, phải đạp bằng những chướng ngại ngăn cản, xuất hiện trên bước đường đi nhận thức thực tại khách quan để tiếp tục tiến lên. Sự nung nấu ấy rồi cũng đạt đến độ chín muồi làm nảy sinh ra những bộ não kiệt xuất ở vị trí tiền duyên làm nhiệm vụ mở đột phá khẩu, đưa tư duy của loài người đến tầm cao mới về nhận thức. Lôbasépxki và J. Bôia đã là hai người được “sở hữu” hai bộ não như vậy trong công cuộc tháo dỡ ách tắc có tên gọi là định đề 5 của hình học.
Với việc loại bỏ định đề 5 Ơclít và thay vào đó giả thiết đóng vai trò mệnh đề là, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước có thể vẽ vô số đường thẳng song song với đường thẳng đã cho, hay phát biểu tương đương: tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180o, mà không gây ra bất cứ mâu thuẫn nội tại nào, Lôbasépxki và J. Bôia đã hầu như cùng một lúc sáng tạo ra một hệ thống hình học mới tuy khác với hình học Ơclít nhưng cũng không “kém” tính chân lý hơn so với hình học Ơclít, thậm chí trong chừng mực nào đó còn huyền diệu hơn. Hệ thống hình học này về sau được gọi là “Hình học Lôbasépxki - Bôia” và thuộc về bộ phận hình học có tên gọi là “Hình học hyperbôlic”. Không gian của hình học hyperbôlic có một cấu trúc được xây dựng nên từ sự suy lý thuần túy phi mâu thuẫn và vì thế mà cũng thiếu hẳn tính cảm nhận trực quan. Vậy thì nó có tồn tại trong thế giới vật lý, hay hơn nữa, trong thực tại khách quan hay không? Chính Gauxơ đã làm một thực nghiệm để tìm hiểu xem: với quan điểm vật lý thì tổng các góc trong một tam giác sẽ như thế nào. Ông đã đo rất cẩn thận các góc của một tam giác được tạo thành bởi ba đỉnh núi cách xa nhau. Nếu kết quả là nhỏ hơn 180o rõ rệt thì có thể suy ra hình học hyperbôlic mô tả không gian thực tại phù hợp hơn so với hình học Ơclít. Song, thực nghiệm đã không giải quyết được vấn đề gì, bởi vì đối với những tam giác lớn với các cạnh dài cỡ khoảng vài hải lý thì sự sai khác so với 180o mà hình học hyperbôlic đã tiên đoán vẫn còn nhỏ đến nỗi các dụng cụ của Gauxơ không thể phát hiện ra được. Như vậy, thực nghiệm cũng chỉ ra rằng hình học Ơclít và hình học hyperbôlic là tiện dụng như nhau trong một không gian vật lý ở những khoảng cách tương đối nhỏ, và chúng chỉ khác nhau rõ rệt ở những khoảng cách không gian thực sự rộng lớn.
Hình học Lôbasépxki - Bôia chỉ thay đổi nội dung của định đề 5 trong hệ thống các định đề của Ơclít, cho nên nó cũng mặc nhiên thừa nhận tính vô hạn của mọi đường thẳng. Tuy nhiên sau khi hình học Lôbasépxki - Bôia xuất hiện và đóng vai trò là sự mở đường cho việc xây dựng hình học một cách tự do thì một vấn đề tự nhiên được đặt ra là có thể nào xây dựng một hệ thống hình học mà trong đó tổng các góc trong một tam giác có thể lớn hơn 180o, hay là không gian của hệ thống đó là “kín” và mọi đường thẳng đều hữu hạn? Bằng lập luận chặt chẽ, trước đây Saccheri đã ngay lập tức thẳng thừng bác bỏ một hệ thống hình học như thế vì nó vi phạm các định đề còn lại của Ơclít. Do đó nếu tồn tại một hệ thống hình học có không gian “kín” và mọi đường thẳng trong đó đều hữu hạn thì đương nhiên không những nó không được có mâu thuẫn nội tại, mà còn đối với nó, không chỉ riêng định đề 5 mà cả những định đề “dính líu” đến tính vô hạn của đường thẳng trong hệ định đề Ơclít cũng phải mất hiệu lực. Hơn nữa nếu có thể xây dựng hệ thống hình học đó thì nó phải thuộc về bộ phận hình học có những tính chất tương phản với bộ phận hình học hyperbôlic. Vậy thì có thể tồn tại một bộ phận hình học như thế không? Chính Riman đã trả lời một cách khẳng định.
Coi các định đề Ơclít và định đề Lôbasépxki - Bôia như những giả thuyết, Riman cũng đưa ra một định đề của mình là: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, không thể vẽ được bất cứ đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho. Từ giả thuyết này, Riman đã xây dựng nên một môn hình học được gọi là “Hình học Eliptic”. Hình học eliptic cũng hoàn mỹ như hình học Ơclít cũng như hình học hyperbôlic. Trong môn hình học này, hoàn toàn không có các đường song song, tổng các góc trong của một tam giác lớn hơn 180o, các đường thẳng luôn cắt nhau, mọi đường thẳng đều là đường đóng kín… Do tính đóng kín của đường thẳng mà mặt phẳng và cả không gian của hình học này cũng đóng kín.
Có thể hình dung không gian của hình học eliptic như là một mặt cầu (không gian eliptic hai chiều), trong đó đường thẳng được qui ước là đường tròn lớn hay còn gọi là đường trắc địa của mặt cầu (đây chính là cách mô tả “thế giới” tự nhiên nhất của những người đi biển). Nếu trong hình học Ơclít, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm phân biệt là đoạn thẳng nối hai điểm đó thì tương tự, trong hình học eliptic (trên mặt cầu), khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm là đoạn ngắn nhất thuộc đường trắc địa nối hai điểm đó. Điều hiển nhiên là trên mặt cầu, nếu có ba điểm không thuộc cùng một đường trắc địa (không “thẳng hàng”) thì luôn dựng được một tam giác và tổng ba góc trong của nó lớn hơn 180o. Một điều cũng hiển nhiên nữa là các đường trắc địa là kín và luôn cắt lẫn nhau…
Do hình học eliptic có thể được hình dung và lý giải tương đối rõ ràng bằng hình học thông thường trên mặt cầu nên có thể nghĩ Riman đã lặp lại những phát kiến của Gauxơ. Trước đó, Gauxơ cũng có xây dựng được môn hình học có tính nội bộ của các mặt cong, trong đó bao gồm cả mặt cầu. Tuy nhiên, nếu như Gauxơ chỉ quan tâm một cách cục bộ đến những qui luật hình học của các mặt thì Riman lại hướng đến việc khám phá bí ẩn của không gian. Chính vì vậy mà Gauxơ đã phải ca ngợi hết lời. Cũng vì thế mà Riman đã có những bước tiến vượt bậc so với đương thời về nhận thức trong lĩnh vực hình học. Riman đã từng cho rằng, muốn hiểu rõ được bản chất của thực tại khách quan vật lý thì trước hết phải hiểu rõ được bản chất của không gian, và theo ông, không gian chính là hình học. Riman cũng thừa nhận điều mà Lôbasépxki đã đề xuất, rằng: mêtríc của không gian phụ thuộc vào tính chất của các lực tác dụng. Từ luận điểm này mà ông đã đi tới một tư tưởng cách mạng về hình học rằng là không gian vật lý, thậm chí là không gian thực tại mà con người đang chứng kiến, là có độ cong. Chỉ trong những phạm vi vô cùng nhỏ của nó thì mới có thể coi là không gian Ơclít. Riman cho rằng độ cong của một gian bất kỳ nào đó là thước đo mức độ khác biệt của nó so với không gian tuyến tính của Ơclít. Với khái niệm độ cong của không gian, có thể coi không gian Ơclít có độ cong bằng 0. Không gian của hình học hyperbôlic có độ cong âm, và không gian eliptic có độ cong dương.
Nhưng trong ba hệ thống hình học đều phi mâu thuẫn ấy thì hình học nào mô tả tốt nhất về không gian hiện thực? Rất có thể rằng, chính câu hỏi này đã tạo ra dấu ấn thiên tài toán học của Riman. Từ quan niệm về sự biến dạng mêtríc phụ thuộc vào lực tác dụng của không gian vật lý, Riman đi đến một kết luận cực kỳ quan trọng rằng, độ cong của không gian vật lý thay đổi từ điểm này qua điểm khác và nó cũng xác định luôn hình học nào trong ba môn hình học mô tả xác đáng đặc tính hình học ở vùng lân cận của một điểm nào đó. Nói cách khác, Riman cho rằng các hệ thống hình học Ơclít, hyperbôlic và eliptic với những độ cong không đổi, chỉ mang tính lý tưởng, có tính bộ phận, địa phương.
Quá trình suy lý hơn người đó của Riman đã đưa ông đến một ý tưởng trác tuyệt rằng có thể xây dựng được một lý thuyết hình học tổng quát có khả năng bao quát tất thảy mọi hệ thống hình học mà con người có thể nghĩ ra được, đồng thời cũng đóng vai trò là một công cụ đích thực trong công cuộc khảo sát không gian vật lý vì nó đã mô tả đúng đắn cấu trúc của không gian thực tại khách quan (theo “ngôn ngữ” của loài người).
Để xây dựng môn hình học tổng quát đó, Riman cho rằng không gian của nó có cấu trúc như mạng lưới gồm vô vàn các phần tử (các điểm). Trong không gian ấy, do những tác động vật lý mà xuất hiện các tập hợp gồm số lượng hữu hạn những phần tử lân cận, gần nhau hợp thành những không gian con và mang đặc tính của một loại hình học nào đó. Một không gian có cấu trúc mạng lưới như vậy thì được gọi là không gian mêtríc.
Trong hình học Ơclít, người ta định nghĩa: một tập hợp được gọi là “không gian mêtríc”, nếu như mỗi cặp phần tử của nó đặt tương ứng một số thực không âm gọi là “khoảng cách”. Trong không gian Ơclít phẳng, khoảng cách giữa hai điểm là đoạn thẳng nối hai điểm đó và nếu “đặt” đoạn thẳng đó trong tọa độ Đềcác 2 chiều (a,b) mà một trong hai điểm đó trùng với gốc tọa độ thì sẽ có biểu thức:
Với: c là độ dài khoảng cách giữa hai điểm
a và b là hai tọa độ của điểm còn lại.
Riman tài giỏi ở chỗ thấy được yếu tố cơ bản đặc trưng cho hình học của một không gian nào đó chính là hình thái biểu hiện của khoảng cách. Đối với không gian phẳng Ơclít thì khoảng cách là một đoạn thẳng. Đối với không gian bất kỳ thì khoảng cách cũng phải thể hiện tính bất kỳ đó. Từ đó, Riman đã mở rộng khái niệm khoảng cách trong không gian Ơclít, tổng quát hóa để áp dụng được cho mọi không gian phi Ơclít. Và ông cũng đã xác định được một hàm tổng quát của phép “đo” khoảng cách giữa hai điểm, bất kể độ cong của không gian chứa hai điểm đó như thế nào, và thậm chí độ cong đó biến đổi từ điểm này tới điểm khác. Biểu thức bình phương khoảng cách Riman được viết như sau:
Với i, j lấy các giá trị nguyên 1, 2 (không gian 2 chiều), hay 1, 2, 3 (trong không gian 3 chiều). Vế phải của biểu thức thực ra là một tổng, nhưng viết đơn giản theo qui ước đặt chỉ số của Anhxtanh, trong đó gij là những hàm nào đó của tọa độ không gian và được gọi là tenxơ mêtric, dxi là hệ tọa độ. Có thể tạm hiểu “tenxơ” là những biểu diễn toán học mô tả mối quan hệ giữa hệ quan sát (hệ tọa độ) và các đại lượng vật lý cùng với những qui luật biến đổi của chúng.
Trên cơ sở hàm khoảng cách, Riman đã đưa ra khái niệm độ cong của đa tạp (hay của tập hợp). Mỗi đa tạp có một độ cong nhất định, cho nên không gian của Riman là một không gian có độ cong biến đổi và bao hàm tất cả các loại không gian Ơclít, hyperbolic, eliptic và những không gian có thể có khác.
Môn hình học tổng quát mà Riman muốn xây dựng và đã xây dựng thành công là như thế. Đó cũng là cốt lõi tư tưởng và nội dung của “Bài giảng thử” nổi tiếng. Sau này, người ta gọi hệ thống hình học đó là “Hình học đa tạp” (các tập hợp) của Riman”.
¯¯¯
Câu chuyện kể về quá trình đằng đẵng, đầy gian lao nhưng thật oai hùng của các nhà toán học đi khám phá sự bí ẩn của định đề 5 đến đây là kết thúc. Dù đã từng được nghe không biết bao nhiêu lần về câu chuyện do những người đi trước kể lại và chính chúng ra cũng vừa đóng vai trò là người kể câu chuyện này, nghĩa là dù nội dung của câu chuyện đã trở nên rất quen thuộc đối với chúng ta rồi, nhưng giờ đây, sau khi đã kể xong, trong lòng chúng ta vẫn trào dâng nỗi bồi hồi, xao xuyết khôn tả như chính bản thân chúng ta đã từng sống trong những thời đại đã qua đó và trực tiếp chứng kiến các sự kiện đã xảy ra trong dĩ vãng của cuộc đời mình.
Không gian thực tại, nơi mà chúng ta đang sống và quan niệm nó, thật bình dị và minh bạch như hình học Ơclít đã mô tả. Đối với cảm nhận và trực giác của một người bình thường thì định đề 5 là hiển nhiên không chê vào đâu được. Khi chúng ta dùng thước kẻ để vẽ một đoạn thẳng thì nó đích thực phải là đoạn thẳng nếu tin vào định đề 5 Ơclít và cũng dễ dàng hình dung rằng nếu kéo dài hai đầu mút của đoạn thẳng đó ra hai phía cùng phương với nó thì sẽ có một đường thẳng dài đến vô tận. Tuy nhiên, nếu không tin vào sự hiển nhiên của định đề 5 Ơclít thì tính “thẳng” của đoạn thẳng nói trên sẽ bị nghi ngờ. Vì không thể quan sát bất cứ sự kiện nào ở xa vô tận nên nghi vấn đó đã buộc các nhà hình học phải tạm thời coi định đề 5 như một định lý để cố gắng chứng minh bằng lập luận xem thử nó có “xứng đáng” là một định đề trong hệ thống tiên đề Ơclít hay không. Sau hơn hai ngàn năm nỗ lực làm công việc đó với niềm tin tuyệt đối của hình học Ơclít trong việc mô tả không gian thực tại, công sức mà họ đã bỏ ra không phải là vô ích. Quá trình tìm đủ mọi cách để chứng minh điều không thể chứng minh được đã giúp cho các nhà hình học hiểu được ngày một sâu sắc và vì thế mà trình độ nhận thức hình học của họ liên tục được mở rộng và nâng cao từ thế hệ này đến thế hệ khác. Thế rồi sẽ phải đến một thời điểm mà trình độ nhận thức đạt đến độ chín muồi để cho những nhà hình học đi tiên phong đủ nghị lực mà thấy rằng nếu đã không thể chứng minh được tính hiển nhiên của định đề 5 Ơclít thì cũng phải đặt cả hình học Ơclít vào nghi vấn đối với vai trò độc tôn của nó trong việc mô tả không gian thực tại. Thế là như một cuộc “đến hẹn lại lên”, trong một thời gian tương đối ngắn, hàng loạt các phát kiến hình học đua nở làm hình thành những hệ thống hình học hyperbôlíc, elíptic và đỉnh cao của sự tổng quát là hình học đa tạp Riman cùng với những công cụ khảo sát, nghiên cứu hiệu quả chúng là chẳng hạn như hình học xạ ảnh, lý thuyết tôpô, hình học giải tích, hình học vi phân…
Ý nghĩa cách mạng của việc sáng tạo ra hình học phi Ơclít là ở chỗ nó đã phá bỏ quan niệm cho rằng hình học Ơclít là chân lý tuyệt đối, bất di bất dịch, là sự biểu hiện duy nhất của không gian thực tại trước quan sát trực giác cũng như trong tư duy trừu tượng của con người. Ngày nay, hình học phi Ơclít không còn là hình học tưởng tượng, như Lôbaxépski suy nghĩ nữa mà còn là công cụ cực kỳ hữu hiệu đối với các nhà vật lý học trong việc nghiên cứu thực tại khách quan. Trong nhiều trường hợp, chẳng hạn như đối với thuyết tương đối của Anhxtanh, đối với quang học hay lý thuyết giao động tổng quát, việc mô tả những biến động trong không gian vật lý theo hình học phi Ơclít lại tỏ ra thích hợp hơn nhiều so với hình học Ơclít.
Cuộc cách mạng đó trong hình học còn mang một ý nghĩa vô cùng sâu xa, khó nhận biết, đó là Tự Nhiên Tồn Tại đúng thực là đã biểu hiện ra trước quan sát và nhận thức những đặc tính vốn có của nó như: tính nước đôi, tính đầy đủ, tính tương phản… Nghĩa là, đã có hình học Ơclít thì phải có hình học phi Ơclít, đã có hình học hyperbôlic thì phải có hình học eliptic, và cuối cùng, đã có ba loại hình học ấy thì vì tính thống nhất của Tự Nhiên Tồn Tại mà cũng tất yếu phải có hình học đa tạp Riman. Có thể nói thêm rằng cuộc cách mạng trong hình học được phát động bởi Xaccheri và hoàn thành bởi Riman đã là một minh chứng hùng hồn cho những quan niệm của Triết học duy tồn về Thực Tại khách quan. Hơn nữa, cuộc cách mạng đó còn gợi ý ra rằng một khi Triết học duy tồn được một “Hoàng tử lớn” nào đó cũng tin yêu nó để tu bổ và “đẽo gọt” nó đến hoàn chỉnh (vì hiện nay Nhà Thông Thái của chúng ta mới nêu ra như một đề xướng quá ư là lộn xộn), thì trước sau gì, không chỉ riêng toán học mà cả vật lý học và toàn bộ các ngành khoa học tự nhiên - xã hội khác đều phải nhận nó làm nền tảng tư tưởng, đều phải lấy nó làm kim chỉ nam cho hoạt động thực tiễn và nghiên cứu lý luận của mình. Cần phải thấy rằng, từ xưa tới nay chưa có một triết thuyết nào, dù là triết học Hoàng - Lão hay triết học Mác, được coi là xác đáng để đủ sức đảm nhận được vai trò đó, dù rằng quá trình đi nhận thức thực tại khách quan sẽ nảy sinh ra đòi hỏi dẫn đến tất yếu phải có một triết học như vậy.
Đến đây, một câu hỏi lớn được đặt ra là, vậy thì hình học ngày nay đã đạt đến trình độ hoàn hảo trong việc mô tả không gian thực tại chưa (dù rằng bản chất siêu hình vốn dĩ của nó không bao giờ cho phép nó có thể trình diễn ra được một cách đích xác tuyệt đối sự thực khách quan)? Chúng ta cho rằng hình học ngày nay vẫn chưa đạt được trình độ tột cùng đó. Ngày nay, dù hình học đã đạt được nhiều nhận thức cao siêu về không gian thực tại, nhưng chưa đầy đủ và còn manh mún. Chỉ khi nào hình học có được triết học duy tồn (đã ở dạng hoàn chỉnh và hoàn toàn xác đáng) và nhận triết học duy tồn làm nền tảng tư tưởng của mình, thì khi đó hình học mới thấy được những nhận thức còn khiếm khuyết trong nội tại nó để rồi tìm cách khắc phục, mở ra khả năng tiến tới sự hoàn hảo mà nó có thể đạt tới được.
Chắc rằng rồi đây, đến lúc nào đó, hình học sẽ nhận chân rõ ràng được một điều rằng, không phải riêng nó mà cả các tri thức khoa học khác, muốn tồn tại và đứng vững được, đều phải dựa trên một tập hợp tối thiểu nào đó những yếu tố hình thành nên khái niệm, những khái niệm sơ khai nhất và những kết luận độc lập nhau có tính cốt lõi nhất được kinh nghiệm cũng như suy đoán xuất phát từ quan sát trực giác cho là hiển nhiên, vốn dĩ thế. Tập hợp đó chính là tên gọi (gắn nhãn mác), (những) đối tượng được chọn làm đơn vị, những định nghĩa có tính cơ sở ban đầu, những tiền đề (những hiển nhiên, không cần và cũng không thể chứng minh được), đóng vai trò khai đường mở lối cho việc hình thành nên một tri thức khoa học nào đó. Thực chất ra, chúng chính là những qui ước ban đầu, đóng vai trò như là những yếu tố, những phương tiện sơ khởi nhất của một quá trình nhận thức.
Không thể có một quá trình nhận thức khoa học nào mà lại không bắt đầu từ việc qui ước và tạo ra một tập hợp qui ước làm cơ sở cho nó. Bởi vì sự biểu hiện của thực tại khách quan trước quan sát và tư duy là phong phú, đa tạp, nước đôi… cho nên nếu không bắt đầu từ những cân nhắc, lựa chọn để đặt tên gọi và đề ra qui ước, thì quan sát và tư duy sẽ không thể phân biệt “rành mạch” được các sự vật - hiện tượng cũng như những đặc tính của chúng trong thực tại khách quan cũng như trong thực tại ảo để có thể tiến hành quá trình nhận thức khoa học. Hơn nữa, nhận thức bao giờ cũng phải thông qua khái niệm và phải nhận hệ thống khái niệm làm “phần xác” của nó nên nó không thể “ra đời” được nếu sự “kết tinh” lúc khởi thủy của nó lại không phải là sự qui ước. Có thể nói qui ước, mở rộng và tăng cường qui ước là con đường độc đạo đưa đẩy tư duy và nhận thức từ chốn mù mịt hồng hoang đến với sự sáng tỏ về sự thực khách quan.
Trái lại, khi quan sát và tư duy bắt đầu định ra những qui ước mở đường cho sự hình thành và phát triển nhận thức thì cũng là lúc ý chí chủ quan của quan sát và nhận thức bắt đầu “lũng đoạn” tính khách quan của thực tại. Bắt đầu từ đó trở đi, thực tại khách quan của nhận thức không còn “khách quan tuyệt đối” nữa mà đã nhuốm màu chủ quan của thực thể nhận thức. Chính vì vậy mà thực tại khách quan của nhận thức, bên cạnh những biểu hiện vốn dĩ của nó, còn mang tính siêu hình và nhiều khi còn bộc lộ ra không ít những kỳ dị. Nhưng chúng ta luôn đặt cược vào niềm tin sắt đá rằng, cuối cùng thì nhận thức cũng đến được bến bờ sáng lạn, khi nó hiểu ra rằng có một thực tại khách quan đích thực mà nó không bao giờ có thể trực giác hoàn toàn được và sự mường tượng của nó về cái thực tại khách quan ấy đã đạt đến hoàn hảo trong tận cùng khả năng mà nó có thể, hơn nữa, nhận thức cũng sẽ đi đến kết luận rằng cái thực tại khách quan mà nó mô phỏng và xây dựng nên bằng hệ thống khái niệm cũng chính là một sự thực khách quan không thể chối cãi được.
Trên cơ sở những lập luận vừa trình bày ở trên thì những định nghĩa và hệ thống tiên đề Ơclít chính là những qui ước mở đường “kiểu” nhận thức gắn chặt vào kinh nghiệm trực giác và do đó mà hình thành nên kim tự tháp có tên gọi: “Hình học Ơclít”. Tuy nhiên, do không thể quan sát được sự kiện ở xa vô tận mà cũng không chứng minh được đúng hay sai, nên cái qui ước có tên là tiên đề 5 đã bị đặt vào vòng nghi vấn ngay từ lúc nó xuất hiện. Quá trình đi chinh phục sự khuất tất của định đề 5 Ơclit đã đưa các nhà hình học đến một khám phá then chốt rằng nếu thay qui ước ấy bằng qui ước của Lôbaxépski – J. Bôia và tiếp sau đó là qui ước của Riman thì sẽ có thêm hai cách nhận thức về không gian thực tại có tính tương phản nhau, khác với hình học Ơclít, nhận hình học Ơclít làm ranh giới chung của chúng, và cũng hoàn toàn hợp lý, xác đáng, không nảy sinh bất cứ mâu thuẫn nội tại nào!). Hiện tượng cùng một lúc tồn tại ba lý thuyết hình học mô tả phi mâu thuẫn không gian thực tại nói lên điều gì nếu không nói lên rằng: hiểu thế nào thì cũng đúng về không gian thực tại và hiểu thế nào thì cũng không hoàn hảo về không gian thực tại. Vậy thì hình học đa tạp Riman đã mô tả hoàn hảo không gian thực tại hay chưa? Chúng ta khẳng định rằng chưa, dù có thể rằng hình học đa tạp Riman đã là một bước nhảy vọt của nhận thức hình học về không gian vật lý.
Tự Nhiên Tồn Tại là đầy đủ nên Nó cũng thiếu thốn. Vì thế mà không gian Vũ Trụ trình hiện ra trước quan sát và tư duy vừa bình dị hồn nhiên, vừa rối rắm, giả tạo. Khi quan sát và tư duy đặt vấn đề nhận thức không gian Vũ Trụ thì đồng thời cũng “vô tình” tạo ra mối quan hệ làm ảnh hưởng đến nhau giữa khách thể quan sát và chủ thể nhận thức. Tùy theo quan niệm của tư duy và trình độ của nhận thức mà có thể thấy không gian Vũ Trụ là thẳng hay có độ cong, là thuần khiết hay đa tạp, và đều hợp lý (phi mâu thuẫn); nghĩa là không gian Vũ Trụ cùng một lúc thể hiện ra những đặc tính ấy. Thế nhưng không bao giờ đối với một tư duy nhận thức lại có thể quan sát và biểu diễn được những đặc tính ấy cùng một lúc, bởi vì tư duy và nhận thức luôn phải dựa vào những qui ước mang tính cực đoan, siêu hình cố hữu trong quá trình nhìn nhận và phán xét thực tại khách quan. Thậm chí là tuân theo nguyên lý thể hiện nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại, không gian Vũ Trụ có tất cả các đặc tính mà loài người có thể tưởng tượng ra được và đồng thời cũng chẳng có đặc tính nào! (Ở đây, chúng ta nhấn mạnh thêm rằng khi nói sự thể hiện của Tự Nhiên Tồn Tại có tính nước đôi là nói đối với quan sát và nhận thức chứ thực ra đối với bản thân Nó thì chẳng có đặc tính đó!)…
Một câu hỏi bật ra là sự suy luận kiểu “văng mạng” như trên, bản thân nó có hợp lý không, và nếu hợp lý thì có thể nào nhận thức được thực tại khách quan đúng như nó vốn dĩ thế không? Chúng ta không trả lời trực tiếp câu hỏi “tầm thường” này và vì đã trót “ngoan cố” tin theo triết học duy tồn của NTT nên chúng ta nói thế này: Lôgic là một phương tiện quan trọng để xác nhận chân lý, nhưng đừng bao giờ để cho tư duy bị xiềng xích bởi lôgic, bởi vì chỉ khi nào quên béng lôgic đi, nghĩa là chỉ còn sự phóng khoáng, tự do hoàn toàn một cách… phi lôgic, chúng ta mới có thể nhận thức được cái vốn dĩ của Tự Nhiên Tồn Tại, hay nói cách khác, phi lôgic là mặt tương phản của lôgic và một lôgic đích thực, tuyệt đối là phải bao hàm được cả lôgic lẫn phi lôgic, do đó mà cũng có thể nói chân lý và phi lý là hai bộ phận tương phản nhau và một chân lý được cho là duy nhất, tối thượng, tuyệt cùng đích xác thì phải hàm chứa cả hai bộ phận đó.
Trên tinh thần của quan niệm như vậy, chúng ta tin rằng, dù có thể còn nhiều nan giải, song nhận thức hình học, theo cách của nó cũng sẽ đến được với cái chân lý vĩ đại cuối cùng.
Tuy nhiên, cần phải thấy rằng muốn đạt được đến cái đích cuối cùng đó thì việc tiên quyết phải làm đối với nhận thức hình học là tìm cách giảm thiểu xuống tối đa sự lũng đoạn đối với không gian thực tại do bị “cái mũi” chủ quan “thò” vào khuấy động. Nhưng bằng cách nào?
Cho tới tận ngày nay, dù quan sát thiên văn đã chỉ ra rằng Trái Đất chỉ là một hành tinh tương tự như nhiều hành tinh của Thái Dương Hệ mà Thái dương hệ chỉ là một bộ phận nhỏ nhoi ở rìa Ngân Hà, còn Ngân Hà thì chỉ là một trong số vô vàn thiên hà và “nằm” ở một vị trí ngẫu nhiên nào đó trong Vũ Trụ mà thôi. Thế nhưng trong nhận thức khoa học nói chung và nhận thức hình học nói riêng, con người gần như vô thức, vẫn giữ cái bản tính cố hữu coi mình ở vị trí trung tâm, ở “tọa độ gốc” để đánh giá, phán xét khách thể - đối tượng mà họ nghiên cứu. Có thể thấy sự tồn tại bản tính đó là hoàn toàn tự nhiên và cũng chính đáng, không có chủ thể tư duy thì cũng không có nghiên cứu, nhận thức. Hơn nữa nghiên cứu, nhận thức, sáng tạo và ứng dụng cho ai nếu không phải là cho chính chủ thể? Thế nhưng chính mặt trái của bản tính ấy lại là nguyên nhân chủ yếu làm trầm trọng thêm sự nhiễu loạn thực tại khách quan bởi tính chủ quan. Ví dụ, trong nghiên cứu hình học, chúng ta chưa từng nghi ngờ tính trung tâm của khu vực mà chúng ta đã ở, để rồi cứ thế mà hồn nhiên nói về cõi xa vô tận, trong khi biết đâu chừng có một chủ thể tư duy nào đó cũng đang nghiên cứu hình học ở đó và coi khu vực của chúng ta mới là ở cõi vô tận? Mặt khác, nếu tồn tại cõi vô tận thì không gian Vũ Trụ là duy nhất hay vô số!?
Có thể nào trong nghiên cứu hình học, để giảm bớt sự “quấy nhiễu” của tính chủ quan đi, chúng ta phải qui ước rằng chúng ta đang ở khu vực trung tâm, đồng thời cũng đang ở đâu đó thuộc cõi vô tận, và rằng, không gian Vũ Trụ là duy nhất, đồng thời cũng là một tập hợp của vô số không gian?
Trước đây, khi cố gắng suy tưởng (nói đúng hơn là hoang tưởng ngây ngô) để hình dung cho bằng được cấu trúc của Vũ Trụ, chúng ta đã nhiều lần “huyên thuyên” về không gian và chưa biết đúng sai thế nào. Bây giờ, sau khi đã kể những câu chuyện trong lịch sử hình học và nhờ đó mà nhận thức về không gian của chúng ta đã có nhiều tiến bộ, chúng ta sẽ cố gắng một lần nữa mường tượng (trên cơ sở phán đoán theo quan niệm của triết học duy tồn) ra hình bóng hình học của không gian thực tại. Hình bóng ấy chắc chắn là có nhiều ngây thơ, phi lý và cũng không hiếm kỳ quặc. Nhưng biết đâu chừng trong “mớ” suy tư kiểu “trẻ con” ấy cũng có được vài gợi ý tốt để phục vụ cho việc xây dựng một hệ thống hình học nào đó ở tương lai. Chúng ta hy vọng rằng hệ thống hình học đó sẽ mở ra một Vũ Trụ hình học trong sáng và xác đáng nhất mà nhận thức có thể sáng tạo được trong tận cùng khả năng của nó.
¯¯¯Mời xem:
0 comments:
Hãy viết bằng tiếng Việt có dấu trực tuyến:
Easy VN - Chương trình tự động thêm dấu tiếng Việt
VIETUNI - Tại Viet1Net (Nên chọn Kiểu Loạn)
- Chèn link bằng thẻ: <a href="URL liên kết" rel="nofollow">Tên link</a>
- Tạo chữ <b>đậm</b> và <i>Ngiêng</i>