THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 40/a

Thứ Hai, tháng 2 16, 2015


THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)



PHẦN IV:     BÁU VẬT

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên hòn ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thầy Cãi

CHƯƠNG VII: TOÀN BÍCH

“Khi công việc là thú vui thì cuộc sống là sự hưởng thụ bất tận. Còn nếu công việc là nghĩa vụ thì lúc đó cuộc sống sẽ là nô dịch khổ sai”.
M. Gorki.

“Cuộc sống bắt chước Nghệ thuật nhiều hơn là Nghệ thuật bắt chước Cuộc sống. Có như thế không phải chỉ vì bản năng mô phỏng của Cuộc sống mà còn vì thực tế rằng, mục đích tự giác của Cuộc sống chính là tìm cách để thể hiện, và rằng Nghệ thuật cung cấp cho Cuộc sống vài hình thức đẹp đẽ để Cuộc sống có thể biến năng lực ấy thành hiện thực…”.
Oscar Wilde.

Vừa đi đường vừa kể chuyện, nhưng vì mải mê kể chuyện và chìm đắm vào những hoang tưởng mà chúng ta quên rằng mình vẫn đang… đi đường.
Nhiều người cho rằng, nói “đi đường” là không chính xác vì cuộc hành trình chinh phục đỉnh Tu Di phải là sự “leo núi”. “Cãi cọ” thường đem đến nhiều điều bổ ích nhưng cũng không ít điều thiệt hại. Duy ý chí trong mê lầm là nguyên nhân gây ra tính bảo thủ, cực đoan ở con người. Khi sự bảo thủ đã “chụp” vào trí não con người rồi thì cãi cọ để tranh thắng là hoàn toàn vô vọng và thậm chí là dẫn tới ẩu đả. Ngày xưa, thuở còn bồng bột, chúng ta không hiểu được điều đó nên hay cãi cọ đến đỏ mặt tía tai để rồi chẳng một lần thắng hay thua trong vui vẻ đề huề mà còn gây ra nỗi hậm hực không cho bản thân mình thì cũng cho bạn bè mình. Nay thì nhờ sự từng trải mà chúng ta không cãi cọ làm gì nữa, chỉ “rụt rè” nhận định như thế này: nói “leo núi Tu Di” thì rõ ràng là đúng rồi, nhưng “leo” hay “trèo” thì cũng là “đi”, là trường hợp riêng của “đi”, nên nói “đi đường” để chỉ sự “leo núi” kể ra cũng không đến nỗi bất ổn lắm. Hơn nữa ngay trong lúc này đây, nói “đi đường” lại có vẻ chính xác hơn là nói “leo núi”.

Thật vậy, do mải mê kể chuyện và hoang tưởng miên man mà hiện giờ, chúng ta không xác định được cuộc hành trình đã tiến lên được đến đâu. Ở cái vị trí “lưng chừng” này, ngoái lại, chẳng còn thấy bất cứ thứ gì ngoài bề mặt của Tu Di: đại dương cũng không, mây cũng không, thậm chí là Trái Đất, Mặt Trăng, Mặt Trời… và cả dải Ngân Hà cũng không nốt. Nhìn về phía trước, chỉ thấy một con đường cực kỳ rộng lớn ở lân cận nơi chúng ta đang đứng và nhờ “hình học phối cảnh” mà chúng ta thấy nó “đồng qui” thành một điểm, mất hút vào vô tận. Ngửa mặt nhìn lên, chúng ta thấy cả một bầu trời bao la đầy sao lấp lánh. Điều lạ lùng nhất là quả thực chúng ta đang đi hoàn toàn tự nhiên trên con đường đó mà chẳng cần dùng tay bám víu vào bất cứ cái gì cả. Rõ ràng là chúng ta đang “đi đường” chứ không phải là đang “bò”, lại quên, đang “leo núi”. Nếu khi đứng ở chân núi Tu Di, chúng ta nói: “Chinh phục đỉnh cao của niềm mơ ước”, thì ở đây hoàn toàn có thể nói: “Chinh phục đích xa của niềm mơ ước”.
Đích phía trước hãy còn quá xa nhưng cái đích để trở về không chừng đã là xa hơn. Vậy thì sự lựa chọn khôn ngoan nhất trong lúc này là tiếp tục tiến lên về phía vô tận. Cho dù hành động như thế sẽ đồng thời “đưa” nơi chôn nhau cắt rốn của mình lùi dần vào cõi cũng vô tận, thì chúng ta hy vọng tràn trề vào tính chân lý ở quan niệm về không gian Vũ Trụ của Triết học duy tồn và cho rằng, đó là con đường độc đạo dẫn chúng ta vừa đến được với ước mơ của ngàn đời, vừa về lại quê hương xứ sở muôn dấu ngàn yêu.
Quan sát không gian thực tại ở chốn “lưng chừng” này, chúng ta thấy nó có vẻ chẳng khác gì cái không gian thực tại ở “chốn quê cha đất tổ” tuy có thể là thuần khiết hơn, tĩnh lặng hơn. Điều đó có nghĩa là ngay cả ở đây nữa, định đề 5 Ơclít vẫn là một chân lý hiển nhiên và như vậy thì có thể nào kết luận rằng cấu trúc kiểu hình học Ơclít được thể hiện ra, nếu không phải trong toàn Vũ Trụ thì chí ít cũng có tính phổ biến của không gian thực tại?
Câu hỏi đó cùng với quang cảnh hằng hà sa số các vì sao nhấp nháy, long lanh trong cái bao la, sâu thẳm đến choáng ngợp và hoàn toàn tĩnh lặng này lại làm trỗi dậy trong lòng chúng ta sự cồn cào ghê gớm của niềm khát vọng, y hệt như thưở xa lơ xa lắc, khi dợm bước chân đầu tiên trên con đường lang bạt kỳ hồ cố tìm cho được… cái gì đó. Dù sao thì chúng ta vẫn còn đủ tỉnh táo và sự từng trải để hiểu rằng muốn tìm cái gì đó thì phải đi, vì có đi mới có đến, đến có nghĩa là đạt tới để trở về, và chỉ khi đến được cõi vô tận thì mới chứng kiến được sự đúng sai của định đề 5 Ơclít. Nếu đến đó mà “thấy” định đề 5 vẫn đúng thì có nghĩa là chúng ta đã về lại “quê nhà”, nếu sai thì coi như chúng ta đành phải bỏ xác nơi “xứ người” sau khi đã chịu một sự đau khổ khủng khiếp và nhớ thương “Cõi trần gian” vô hạn độ. Vậy thì hãy tiến lên khẩn trương hơn nữa để rút ngắn thời gian chờ đợi và hy vọng trong sự… hồi hộp tin tưởng điều tồi tệ sẽ không thể xảy ra!.
Để làm dịu đi niềm khát vọng đang cồn cào trong lòng, trên chặng đường đi từ đây đến đó, đối với một sinh linh bé nhỏ và hoàn toàn cô độc giữa bốn bề hiển hiện một cách yêu ắng tuyệt đối của Tự Nhiên Vĩ đại, chẳng còn cách nào khác là lại “vừa đi đường, vừa kể chuyện” và cả huyên thuyên… hoang tưởng nữa!
***
Nguyên lý nước đôi chỉ ra rằng Tự Nhiên Tồn Tại thể hiện ra như thế này và cũng như thế kia, là cả hai mà cũng không phải cả hai. Chính vì vậy, cũng có thể nói Vũ Trụ là Tồn tại hay Hư vô, là Tồn Tại mà cũng không Tồn Tại, và cũng không phải như thế (!). Tuy nhiên, đối với một chủ thể quan sát và tư duy, vì tất yếu nó phải coi sự hiện hữu của nó là một sự thực khách quan hiển nhiên trong một cái gì đó, đồng thời được hun đúc nên từ cái đó, cái mà nó đặt tên là Vũ Trụ, thì Vũ Trụ luôn được xác nhận là một sự thực khách quan vĩ đại. Quá trình nhận thức sẽ làm cho chủ thể quan sát và tư duy “thấy” một sự thực khách quan nữa là sự hiện hữu của nó có thể bị tiêu diệt nhưng sự thực khách quan vĩ đại là vốn dĩ thế. Nghĩa là nó phải đi đến một xác nhận hiển nhiên rằng Vũ Trụ không gì khác là Tự Nhiên Tồn Tại và Tồn Tại là chỉ Tồn Tại chứ không thể có Hư Vô, bởi vì nếu gọi một cái gì đó là Hư Vô thì cũng chẳng khác gì gọi nó là Tồn Tại. Nếu một Hư Vô trở thành sự thực khách quan thì chủ thể quan sát và tư duy cũng phải coi sự hiện hữu của nó là Hư Vô hay xuất thân từ Hư Vô và lúc này phải hiểu cái nhãn mác Hư Vô do chủ quan đặt ra có nghĩa là Tồn Tại. Một khi chủ thể quan sát và tư duy gọi một sự trống rỗng nào đó là Hư Vô, thì vì Hư Vô đó là một sự thực khách quan không thể chối cãi được theo quan niệm của chủ thể nên Hư Vô đó phải là một Tồn Tại. Một Hư Vô mà Tồn Tại chỉ có thể là hư vô tương đối hay có thể nói là một tồn tại tương đối mà chủ thể không quan sát thấy và do chủ thể qui ước. Đối với tồn tại (tương đối), để thỏa mãn nguyên lý đầy đủ, nếu có tồn tại thực (thực thể cấu thành nên từ Không Gian) thì cũng có tồn tại ảo (tư tưởng, ý niệm, những biểu hiện trước quan sát của tồn tại thực…). Có thể qui ước, gọi tồn tại ảo là Hư Vô. Nhưng phải nhớ rằng, Tồn Tại (tuyệt đối) ảo là thể tương phản (tuyệt đối) với Tồn Tại và vẫn có biểu hiện trước quan sát, do đó vẫn là Tồn Tại chứ không phải Hư Vô.
Từ đó mà có khẳng định rằng Vũ Trụ là Tự Nhiên Tồn Tại hiển hiện ra trước quan sát và nhận thức. Trước loài người quan sát và nhận thức thì biểu hiện của Tồn Tại là Không Gian mà biểu hiện của Không Gian là khoảng không (tưởng chừng) trống rỗng và vạn vật - hiện tượng cùng với sự vận động chuyển hóa lẫn nhau không ngừng của chúng trong cái khoảng không vĩ đại đến “ghê hồn” ấy.
Vì Hư Vô không thể hiện hữu nên Không Gian phải liên tục và “lấp đầy” Vũ Trụ. Trong Vũ Trụ không có gì khác ngoài Không Gian, hay nói cách khác đi: Không Gian là thứ duy nhất làm nên Vũ Trụ. Để cho Tồn Tại được xác nhận thì Không Gian phải tự thân chuyển hóa liên tục và bất tận, ở mọi tầng nấc, ở mọi phạm vi, đến tận “chân tơ kẽ tóc”.
Tồn Tại là duy nhất cho nên Không Gian không thể tự mất bớt đi và như thế nó cũng không thể tự sinh ra. Không Gian có thể chuyển hóa từ dạng này sang dạng khác trong sự thể hiện cực kỳ đa dạng và phong phú của nó nhưng luôn được bảo toàn một cách tuyệt đối. Đó cũng là nội dung của nguyên lý bảo toàn Không Gian. Vì Không Gian được bảo toàn cho nên nó phải hữu hạn. Vì Không Gian phải hữu hạn về lực lượng và nó là thứ duy nhất mà Vũ Trụ có nên Vũ Trụ phải vô biên. Nhưng một Không Gian vô biên thì cần gì phải bảo toàn nữa và Không Gian cần gì  phải chuyển hóa theo những qui luật ràng buộc chặt chẽ như chủ thể quan sát và tư duy đã chiêm nghiệm? Do đó chủ thể quan sát và tư duy phải đi đến nhận định (có vẻ mâu thuẫn) là Không Gian phải hữu biên. Vì Không gian là biểu hiện duy nhất của Tồn Tại cho nên nếu có là hữu biên chăng nữa thì “bên kia” của biên vẫn phải là Không Gian. Vậy thì Không Gian phải được cho là vô hạn. Cuối cùng thì, muốn nhận chân được Không Gian thực tại của Vũ Trụ, cần phải quan niệm một cách “nước đôi” và chỉ khi quan niệm như vậy mới không làm xuất hiện ra mâu thuẫn, nghịch lý.
Mặt khác, bản chất của Tồn Tại là phải thể hiện, bởi vì bất cứ một sự không thể hiện tuyệt đối nào đó, dù có “nhỏ nhoi” đến mấy thì cũng bị coi là không Tồn Tại, nghĩa là Hư Vô. Mà Hư Vô ở “trong” Tồn Tại thì đương nhiên phải thể hiện, cho nên lại là Tồn Tại.
Còn muốn Hư Vô không ở trong Tồn Tại hoặc ở “bên cạnh” Tồn Tại thì cả Vũ Trụ phải Hư Vô và như vậy là chủ thể quan sát và tư duy cũng phải Hư Vô nốt. Không một chủ thể quan sát và tư duy nào thừa nhận mình Hư Vô, hoặc nếu “cố tình” thừa nhận mình Hư Vô, thì sự Hư Vô đó phải được hiểu theo nghĩa là Tồn Tại. Vậy thì Không Gian phải vừa liên tục để loại bỏ Hư Vô, vừa phải gián đoạn đến tận cùng nhỏ để khẳng định sự Tồn Tại của nó. Tính gián đoạn của Không Gian ở tận cùng nhỏ của nó sẽ tất yếu dẫn đến quan niệm về sự tồn tại của hạt Không Gian (viết tắt là KG) và đó là đơn vị nhỏ tuyệt đối cấu thành nên Không Gian. Có thể nói Không Gian Vũ Trụ là tập hợp của vô vàn (nhưng xác định) các hạt KG (hay còn gọi là điểm KG), và vì vậy mà nó phải “hữu biên” ở tận cùng nhỏ. Dù là hữu biên thì vẫn phải vô hạn, hay nói cách khác là dù hữu hạn thì vẫn phải vô biên, cho nên nếu có thể vượt qua “bên kia” của tận cùng nhỏ, nghĩa là “đi vào” được nội tại của hạt KG thì cũng chỉ “thấy” sự thể hiện của duy nhất một Không Gian Vũ Trụ, và như thế, chỉ có thể là đã trở về với Không Gian Vũ Trụ từ phía tận cùng lớn. (Điều đó cho phép nghĩ ngược lại rằng nếu vượt qua biên giới tận cùng lớn của Không Gian Vũ Trụ thì có nghĩa là trở về với Không Gian Vũ Trụ từ phía tận cùng nhỏ).
Suy luận như trên sẽ đi đến những kết luận bổ sung sau đây về Không Gian Vũ Trụ:
- Không Gian Vũ Trụ có cấu trúc mạng khối mà các hạt KG đóng vai trò là những nút mạng.
- Một hạt KG nào đó đều do các hạt KG liền kề với nó, “bao bọc” quanh nó xác định, tạo thành.
- Các hạt KG luôn nằm “áp sát” một cách khít khao nhau để không xuất hiện “lỗ hổng” Hư Vô và chúng tuyệt đối không “di dời vị trí” dù tuyệt đối “sống động”.
- Mỗi hạt KG luôn phân biệt được đối với những hạt KG bao quanh nó và “tác thành” nên nó, đồng thời có mối quan hệ liên thông với những hạt KG ấy và qua đó mà gián tiếp liên thông với toàn thể các hạt KG của Vũ Trụ để đảm bảo cho Không Gian Vũ Trụ là liên tục.
- Không Gian Vũ Trụ là duy nhất mà cũng là vô số, là thống nhất mà cũng không thống nhất. Có thể nói rằng, chúng ta là một bộ phận không đáng kể của Vũ Trụ, đang sống trong một Không Gian Vũ Trụ thống nhất và duy nhất, đồng thời cũng đang sống trong một hạt KG nào đó. (Nói như thế làm bật ra một đại ngộ hết sức tuyệt vời: vì xác suất Tồn Tại của Vũ Trụ là một (là tất yếu!), nên một trạng thái nào đó của Vũ Trụ đã từng tồn tại thì rồi trước sau gì cũng phải xuất hiện trở lại. Con người ta, đã sống hết cuộc đời thì phải chết đi, chết là trở về với hư vô nhưng không phải Hư Vô nên chưa hết mà còn sẽ “quay trở lại” một cuộc đời mới và rồi cứ như vậy lại sẽ sống một cuộc đời mà xưa kia chúng ta đã từng sống. (Mặt khác, vì đồng thời phải thỏa mãn tính nước đôi cho nên xác suất Tồn Tại của nó cũng bằng không cho nên chúng ta chỉ có một cuộc đời duy nhất!) Thậm chí có thể rằng khi chúng ta đang sống “ở đây”, vào “lúc này” của cuộc đời thì chúng ta cũng đang sống ở nhiều “nơi khác”, vào những lúc khác nhau của cuộc đời. Do đặc tính duy nhất của Tồn Tại, hay nói theo kiểu của ông bà là do “thiên cơ bất khả lậu” mà chúng ta không thể “thấy” được hiện tượng này và không thể nhớ lại được cuộc đời mà chúng ta đang sống đã từng xảy ra vào “thời xa xưa”. May lắm, và cũng hi hữu, có thể có vài người nhớ lại được lờ mờ tiền kiếp gần của mình, và cũng có vài người thấy được tương lai gần của đời mình và của đời người khác (hiện tượng tiên tri!!!). Rất có thể “kiếp sống luân hồi” là hiện tượng có thật nhưng chắc rằng không theo kiểu đầy thị phi của nhà Phật. Biết đâu chừng trên cơ sở của sự đại ngộ này mà có thể giải thích được tất cả các hiện tượng tâm linh huyền bí và có thể cho rằng chúng ta sống rồi phải chết đi nhưng đồng thời cũng bất tử như Vũ Trụ?! Nếu đúng là như thế thì đây là một “phát kiến” thiên tài nhất, vĩ đại nhất, quan trọng nhất và vui vẻ nhất của chúng ta từ đầu cuộc hành trình tới giờ!He,he...He!).
 - Không Gian Vũ Trụ biến động không ngừng. Có thể hình dung nó như một đại dương mênh mông mà trong lòng nó luôn hiện hữu những sóng ngầm, xoáy, các dòng chảy nóng, lạnh, các khối băng lớn, nhỏ đang tan chảy ra hoặc đang đông lại… Do đó, có thể gọi Không Gian Vũ Trụ là một Đa Tạp vĩ đại, không những về mặt cấu trúc hình học mà cả về mặt tương tác vật lý.
- Không Gian Vũ Trụ vừa bền chặt tuyệt đối vừa lỏng lẻo tuyệt đối. Nó không cho phép bất cứ hạt KG nào dịch chuyển khỏi vị trí cố hữu, đồng thời lại cho phép vạn vật (là một thể đặc thù của Không Gian) vận động, di dời tự do trong lòng nó.
Sau khi đã có những kết luận về Không Gian Vũ Trụ và coi như đó cũng là những tính chất có thực của Nó, chúng ta tự hỏi, vậy thì hạt KG có hình thù như thế nào?
Chắc rằng hạt KG cũng có hình thù, nhưng hình thù của nó luôn luôn biến đổi một cách tuần hoàn sao cho các hạt KG kề cận nhau về mặt hình thể hình học vừa giống nhau về quá trình biến dạng, vừa khác nhau trong cùng một thời điểm. Hạt KG, xét trên tư cách là một Vũ Trụ thì nội tại của nó phải trải qua vô vàn trạng thái một cách tuần hoàn mà trạng thái “đầu” và trạng thái “cuối” là hai trạng thái tương phản nhau, tạm gọi (một cách không chính xác) là cực đại và cực tiểu (hay còn gọi là hai trạng thái cực độ trái chiều nhau). Do Tự Nhiên Tồn Tại là duy nhất và Không Gian Vũ Trụ được bảo toàn mà sự xuất hiện của tất cả các trạng thái ấy là tất yếu và sự xuất hiện lặp lại của chúng cũng là tất yếu, nghĩa là xác suất xuất hiện của chúng trong một chu kỳ vận động luôn bằng 1. Hạt KG, xét trên tư cách là đơn vị nhỏ tuyệt đối của Không Gian Vũ Trụ thì vận động nội tại “bình thường” của nó, như chúng ta đã từng giả định, là trải qua bốn trạng thái một cách tuần hoàn. Trong trường hợp bị môi trường kích hoạt (bị các hạt KG kề cận nó kích thích), nội tại của nó có thể lâm vào một trong hai trạng thái “không chịu đựng nổi”, tương phản nhau gọi là quá độ (và lúc này hạt KG được gọi là hạt KG bị kích thích).
Tuy nhiên, để đảm bảo cho hạt KG có hình khối biến đổi tuần hoàn thì phải có một khối hình học nào đó, có tính trung dung, đóng vai trò là hình khối chuẩn, làm cơ sở cho sự biến đổi đó. Hình khối của hạt KG là một tồn tại thực nhưng đồng thời cũng là một tồn tại ảo. Hình khối đó là thực vì được tạo thành “một cách chắc chắn” từ những hạt KG kề cận và có nội tại, nó ảo vì các mặt của nó là sự “vay mượn” một phần mặt của các hạt KG kề cận đã tạo thành ra nó. Có thể nói không những về mặt vận động mà cả về mặt hình dạng, toàn thể các hạt KG của Không Gian Vũ Trụ luôn trực tiếp hay gián tiếp tác động vào nhau và phụ thuộc lẫn nhau.
Cần thấy ngay rằng, yêu cầu tiên quyết đối với hình khối chuẩn của hạt KG trong thực tại là phải có tính cực tiểu so với mọi hình khối có thể có của Không Gian Vũ Trụ, hơn nữa là nếu sắp xếp, chồng chất chúng lên nhau thì phải “khít khao” tuyệt đối, tạo thành một khối mạng không có kẽ hở và bền chặt nhất.
Không thể biết được trong thực tại, một hình khối chuẩn vừa thực vừa ảo, lại phải thỏa mãn triệt để yêu cầu trên như thế nào. Nhưng nhờ sự biểu hiện nhất quán của Tự Nhiên Tồn Tại làm xác định nên nguyên lý tương tự mà chúng ta có thể mường tượng một cách tương đối được cái hình khối chuẩn này.
Trong Vũ trụ hình học vĩ mô (chúng ta gọi như thế để qui ước rằng điểm không có nội tại), không gian hình học Ơclít được coi là trung dung, cơ sở, là gốc xuất phát của mọi kiểu không gian hình học mà trước tiên là của hai không gian hình học có tính tương phản nhau qua gốc xuất phát của chúng và có tên gọi lần lượt là không gian hình học hyperbolic, không gian hình học eliptic. Vì lẽ đó, chúng ta sẽ tìm bóng dáng tương tự của hình khối hạt KG trong không gian Ơclít.
Giả sử có những đoạn thẳng có độ dài ngắn nhất không thể còn ngắn hơn được nữa. Và do đó mà cũng được gọi là độ dài đơn vị ngắn nhất tuyệt đối của không gian Ơclít. Để tạo ra được một mặt (phẳng) thì ít nhất phải có 3 đoạn thẳng và mặt có diện tích nhỏ nhất là mặt có ba cạnh có độ dài đơn vị tuyệt đối. Đó, không thể khác, phải là tam giác đều và có thể gọi nó là đơn vị của mặt (phẳng). Tương tự, muốn tạo dựng một khối đa diện thì ít nhất cũng phải cần đến 4 mặt và hiển nhiên, khối đa diện có tính cực tiểu trong các khối đa diện là khối có thể tích cực tiểu, đóng vai trò là thể tích đơn vị tuyệt đối của không gian, Ơclít, hay còn nói là khối có diện tích mặt nhỏ nhất, có số đỉnh, số cạnh, số mặt ít nhất. Khối đó, không thể khác, phải là khối tứ diện tam giác đều với cạnh có độ dài là đơn vị tuyệt đối của không gian Ơclít.
Một cách trực quan, nếu chúng ta sắp xếp các tứ diện tam giác đều sao cho các mặt của chúng chồng khít lên nhau thì sẽ tạo ra những khối đa diện tam giác đều (khối mạng) không có kẽ hở nội tại mà tiêu biểu là khối 20 mặt tam giác đều.
Chúng ta cho rằng, vì tứ diện tam giác đều trong không gian Ơclít hoàn toàn thỏa mãn những yêu cầu khắt khe tương tự như đối với hình khối chuẩn của hạt KG trong thực tại, nên cũng có thể chọn nó là hình bóng của khối chuẩn ấy và hình minh họa nó được thể hiện ở hình 1/b.
Từ hình bóng chuẩn đó của hạt KG, suy ra từ bản chất của biến đổi Tôpô, chúng ta còn có thêm hai hình bóng quá độ (phản ánh hai trạng thái quá độ) của nó nữa là khối cầu và khối (tạm gọi là) giả cầu. Hình 1/a và 1/c là minh họa của hai hình khối này.
Hình 1: Ba bóng dáng của hình khối hạt KG
Chúng ta gọi ba hình minh họa trên hình 1 là ba hình bóng cơ bản của hình thù hạt KG. Trong Không Gian Vũ Trụ, hình thù mọi hạt KG bình thường đều dao động một cách điều hòa, “qua lại” một hình thù chuẩn mà hình 1/b là hình bóng của nó. Khi bị kích thích mạnh hoặc theo cách nào đó, dao động nội tại của một hạt KG bình thường nào đó có thể đạt đến trạng thái tương tự như cộng hưởng. Lúc đó hình thù của hạt KG bị kích thích đó sẽ có dạng mà hình bóng của nó là minh họa 1/a hoặc 1/c. Hai hình bóng này là biểu hiện hai trạng thái tột độ (do cộng hưởng) trái chiều nhau mà gốc tương phản là hình minh họa 1/b.
Dù rằng vị trí của mọi hạt KG đều cố định một cách hằng cửu trong Không Gian Vũ Trụ, nhưng chúng luôn chuyển hóa liên tục qua 4 trạng thái thông thường một cách điều hòa và trong những điều kiện nào đó có thể đạt đến trạng thái tột độ, nên một cách hình thức thì mọi hạt KG đều di dời khắp Không Gian Vũ Trụ, hay có thể nói rằng trạng thái của mỗi hạt KG có tính lan truyền trong Không Gian Vũ Trụ. Giả sử rằng có hai trạng thái tột độ trái chiều, do “nỗi bức bách” phải “xoa dịu” nội tại mà tìm đến nhau, thì sự tác hợp của chúng sẽ được biểu diễn một cách hoàn toàn tượng trưng như sau:
- Nếu nhìn ở góc độ tương phản âm - dương, thì:
Cầu + Giả cầu = Tứ diện tam giác đều + Tứ diện tam giác đều
- Nếu nhìn ở góc độ tương phản nghịch đảo, thì:
Cầu x Giả cầu = Tứ diện tam giác đều x Tứ diện tam giác đều
Vậy thì trong hai cách biểu diễn tượng trưng ấy, cách nào đúng hơn? Chúng ta cho rằng hai cách biểu diễn tượng trưng đó đều đúng vì mỗi cách là mô tả một trường hợp tương tác độc lập. Cách thứ nhất mô tả hai hạt KG bị kích thích tột độ, trao đổi cho nhau cái mà hạt này đang thừa thì hạt kia đang thiếu để trở thành hai hạt KG thông thường. Còn cách thứ hai là mô tả hai hạt KG đó tích hợp nhau tạo thành một hệ thống hay thực thể có nội tại gồm hai lực lượng tương phản chuyển hóa không ngừng. Nếu cho rằng tốc độ lan truyền trạng thái của hạt KG là bằng c (vận tốc ánh sáng) và hệ thống nói trên không lan truyền đi đâu cả thì có thể coi nó như một điểm gồm lực lượng là hai hạt KG và xoáy “kinh hồn bạt vía”. Khó mà hình dung được sự xoáy đó trong “cõi trần gian”. Chúng ta có thể gọi sự xoáy đó là “xoáy không gian” hay “xoáy trạng thái không gian”, và cũng có thể bắt chước các nhà vật lý học mà gọi nó là Spin.
Đến đây việc mô tả hình học đối với hình hài hạt KG, hay điểm KG đã xong và chúng ta cho rằng sự giải trình về sự tồn tại đích thực của điểm KG như trên là “rất chi chí lý”, không thể chê vào đâu được (dù có thể chẳng được “người lớn” nào chấp nhận cả, thậm chí còn mắng nhiếc tơi bời nữa!).
Điếc không sợ súng, chúng ta vẫn “ngoan cường” bảo vệ cái Không Gian Vũ Trụ mà chúng ta vừa mường tượng ra và tin tưởng rằng nó rất giống với sự thực khách quan. Bởi vậy nên một lần nữa chúng ta khẳng định: về mặt hình học, Không Gian Vũ Trụ là một tập hợp của vô vàn điểm KG, có cấu trúc mạng khối, hữu hạn mà vô biên, đồng thời cũng hữu biên nhưng vô hạn; và coi điều này là một chân lý. Cần nói thêm điều hay ho này: nếu coi mạng khối không gian là một “khối bản đồ” mà trong đó các hạt KG đóng vai trò như là những quốc gia thì về mặt hình học, chỉ cần dùng tối đa là 4 màu để tô phân biệt chúng.
Khi một quan niệm hình học đã được chấp nhận là chân lý thì nó phải tồn tại trong Vũ trụ hình học. Thế thì tại sao trong Vũ trụ hình học ngày nay, chúng ta chẳng thấy cái Không Gian Vũ Trụ mà chúng ta vừa mường tượng và khẳng định tính chân lý của nó ở đâu cả? Bởi vì rằng nó tồn tại nhưng chưa được ai đó làm cho hiện hữu. Mai này, một khi đã hiện hữu, chắc chắn nó sẽ là một hệ thống hình học mới có tính đặc thù và có tên gọi là “Hình học vi mô” để phân biệt với hình học hiện nay (mà chúng ta đã gọi là “hình học vĩ mô”).
Hình học vĩ mô, như lịch sử đã lưu lại, bắt đầu được xây dựng nên từ những kinh nghiệm trực giác trong cái không gian thông thường mà con người quan sát được. Với cái nhìn vĩ mô thì hình học vĩ mô đã mô tả coi như là đúng đắn không gian thực tại thuộc tầng vĩ mô. Cũng chính vì kinh nghiệm trực giác mà không gian vĩ mô phải đi đến quan niệm hay qui ước rằng điểm là không có nội tại, nghĩa là không có kích thước, bởi vì nếu điểm có kích thước thì nó phải là một khối không gian và một điểm như vậy sẽ tạo ra những phi lý không khắc phục nổi. Hơn nữa, cũng chính kinh nghiệm trực giác dẫn các nhà hình học thời cổ đại và cả sau này đến quan niệm về một không gian hoàn toàn trống rỗng và do đó có thể tùy tiện “cho trước” bất cứ điểm nào, bất cứ đường nào và bất cứ mặt nào. Trong một không gian hoàn toàn trống rỗng như vậy nhưng lại là tập hợp của vô hạn điểm thì hiển nhiên phải coi điểm là không có nội tại mới hợp lý.
Cần thấy rằng thể hiện đặc trưng của không gian là kích thước. Một khối quảng đại kích thước lại được hình thành nên từ sự tập hợp của các phần tử không có kích thước là điều kỳ bí của hình học vĩ mô. Không những thế, từ qui ước điểm không có kích thước, việc nói rằng qua một điểm cho trước, có thể dựng được vô vàn đường, hay từ điểm đó có thể xác định được vô số chiều độc lập nhau (n chiều) với hàm ý số lượng của chúng có thể là vô hạn, cũng làm cho hình học vĩ mô - một hình học được xuất phát từ cảm nhận trực giác, hàm chứa mâu thuẫn. Một cách trực quan thì khó lòng mà tin được một đường khi hiện hữu lại không có “độ dày” dù mảnh đến đâu chăng nữa và qua một điểm nào đó lại có thể vẽ được vô hạn đường. Bởi vì càng có nhiều đường đi qua một điểm nào đó thì do sự chồng chập của chúng mà điểm đó như càng phồng to lên hoặc hình thành một tập hợp điểm ngày một lớn, và khi số lượng đường qua điểm đó là vô hạn thì có vẻ như điểm đó, hoặc tập hợp điểm đó cũng trở thành ngay chính cái không gian vô tận đã từng chứa chúng.
Nói thêm, xuất phát từ trải nghiệm, và kiểm chứng đối với không gian thực tại thông thường mà trong hình học vĩ mô, không gian được coi là hoàn toàn trống rỗng, tương tự như một Hư Vô và vì không thể quan sát được cõi vô tận mà có thể tự do “vẽ vời”, đưa ra ba phát biểu khác nhau về định đề 5 để rồi làm xuất hiện ba hệ thống hình học khả dĩ, phi mâu thuẫn, trong đó hệ thống hình học Ơclít đóng vai trò là trung dung, là cơ sở xuất phát của hai hệ hình học hyperbôlic và eliptic như đã kể. Tất cả ba hệ thống hình học kể trên đều thuộc về hình học vĩ mô. Ngay cả hình học đa tạp Riman hay lý thuyết hình học vi phân, dù có đề cập đến những khoảng cách, những khoảng không gian vô cùng nhỏ thì cũng thuộc về hình học ấy. Bởi vì chúng đã xét thế giới hình học của tầng vi mô theo quan điểm của hình học vĩ mô.
Như vậy, muốn xây dựng một Vũ trụ hình học mô tả đúng nhất đến mức có thể về Không Gian Vũ Trụ thì không còn cách nào khác là bên cạnh hình học vĩ mô, phải bổ sung thêm một bộ phận thứ hai nữa, đó là hình học vi mô.
Có thể phân biệt nôm na, đại khái thế này: hình học vĩ mô được xây dựng nên từ quan sát trực giác, cảm nhận và suy luận ở tầng Không Gian thực tại vĩ mô, còn hình học vi mô được xây dựng nên từ quan sát trừu tượng, suy tư hợp lý trên cơ sở những quan niệm triết học đúng đắn về Tự Nhiên Tồn Tại, kế thừa những thành quả đã đạt được của Toán - Lý cũng như những gợi ý sâu xa của những mâu thuẫn, nghịch lý nảy sinh và tồn tại cho đến nay trong Toán - Lý mà chưa giải quyết được. Hay nói cách khác, hình học vĩ mô là nhận thức (hình học) của con người về sự biểu hiện trực tiếp của không gian thực tại ở tầng vĩ mô và hình học vi mô là nhận thức của con người về sự biểu hiện gián tiếp của không gian thực tại ở tầng vi mô.
Tuy nhiên, vì Không Gian Vũ Trụ là một thể thống nhất nên Vũ trụ hình học cũng phải thể hiện được tính thống nhất ấy. Chúng ta cho rằng một Vũ trụ hình học được gọi là nhất quán, khi nó vừa gồm hai hệ thống hình học phân biệt được là vĩ mô và vi mô, vừa chỉ ra rằng đó là hai nhận thức về hai biểu hiện ở hai tầng qui mô khác nhau của một Không Gian Vũ Trụ duy nhất đối với một quan sát và tư duy đang tồn tại ở một trong hai tầng nấc qui mô ấy.
Như đã nói, đối với bất cứ một công trình lý thuyết nào thì việc làm đầu tiên để sáng tạo ra nó là phải thiết lập được một hệ thống những qui ước đầu tiên có tính cốt lõi đóng vai trò như bàn đạp xuất phát. Những qui ước ấy phải có tính vốn dĩ, hiển nhiên, không thể bàn cãi. Vậy thì muốn xây dựng một Vũ trụ hình học nhất quán gồm hai lĩnh vực hình học vĩ mô và hình học vi mô, chúng ta cũng cần phải lập cho được một hệ thống qui ước làm cơ sở ban đầu cho nó. Dù chúng ta chỉ là những anh chàng ngố của các nhà hình học, nhưng đồng thời như đã thừa nhận là “điếc không sợ súng” nên chúng ta cũng thử một phen lập hệ thống qui ước đó, và coi như đó chỉ là kết quả của một sự khởi xướng đầy bộp chộp. Nhưng trước khi làm cái công việc rõ ràng là vô cùng khó khăn mà chưa chắc đã thành công đó, chúng ta muốn thắc mắc thêm đôi điều nữa.
Ai cũng biết tia sáng đơn sắc truyền thẳng nhưng thực ra nó lan truyền như một sóng hình sin. Tại sao vậy? Phải chăng đó là hiện tượng có nguyên nhân trong thế giới vi mô và thể hiện ra trong thế giới vĩ mô? Tại sao một nguồn sáng bao giờ cũng phát ra một chùm sáng, thậm chí là nhỏ như một tia sáng, có tính phân kỳ, nghĩa là càng đi xa càng loe ra, mà không giữ nguyên tiết diện ban đầu để trông như một đường thẳng, và do đó mà cường độ sáng của chùm, càng xa nguồn càng yếu đi? Phải chăng là một tia sáng, dù có thể đi đến được vô cùng xa nhưng không thể là vô cùng tận? Những hiện tượng vật lý như nhiễu xạ, giao thoa… của ánh sáng đều có nguyên nhân trong thế giới vi mô và được thể hiện trong thế giới vĩ mô đều cho thấy hình như trong thế giới vi mô, giữa hai điểm cho trước, chưa chắc đã vẽ được một đoạn thẳng và thậm chí không tồn tại đường thẳng. Thế nhưng vì sao trong thế giới vĩ mô, với cái bút và thước kẻ trong tay, chúng ta luôn có thể tùy tiện làm hiện hữu bất cứ đoạn thẳng nào trong mặt phẳng? Phải chăng, trong thế giới vi mô, việc dựng một đoạn thẳng giữa hai điểm cho trước là không chắc chắn và chỉ có thể rằng qua hai tập hợp điểm cho trước sẽ xây dựng được nhiều đường không thẳng tập hợp lại mà trong thế giới vĩ mô thấy như một đoạn thẳng nối hai điểm đã cho?...
Sau khi đã thỏa mãn với vài câu hỏi ngơ ngác nhưng cũng “đáo để và vui vẻ ra phết” như thế, chúng ta không nghĩ ngợi gì thêm nữa mà đưa ra ngay một hệ thống qui ước hoàn toàn có tính gợi mở chưa chắc chắn cho một Vũ trụ hình học của tương lai (và nếu có sai lầm thì cũng xin các nhà hình học lượng thứ!):
- Không gian là thể chất vốn dĩ và duy nhất của Tự Nhiên Tồn Tại.
- Không gian là tập hợp của vô vàn điểm KG.
- Không gian có cấu trúc mạng khối bền chặt, không hở, mà các điểm KG đóng vai trò là nút mạng. Không gian đồng thời cũng có tính liên thông.
- Không gian là một khối hữu hạn mà vô biên nhưng cũng hữu biên mà vô hạn.
- Điểm KG là một thực thể không gian có nội tại và là thực thể nhỏ nhất đóng vai trò điểm tuyệt đối của không gian.
- Khối điểm là một hội tụ điểm có tâm khối mà năng lực quan sát cho rằng so với qui mô của không gian, nội tại của nó không đáng kể. Do đó khối điểm còn được gọi là điểm tương đối.
- Đường là tập hợp nối tiếp nhau của điểm.
- Số lượng đường đi qua một điểm tương đối (hay số lượng phương chiều độc lập xuất phát từ điểm đó) là xác định. Có vô vàn đường đi qua điểm tương đối khi nó vô cùng lớn và số lượng đó giảm dần theo hướng về vô cùng nhỏ và ít nhất khi điểm là điểm tuyệt đối.
- Không gian vĩ mô là không gian mà điểm được cho là đơn vị nhỏ nhất, góp phần làm nên nó, được “thấy” như có nội tại hoàn toàn không đáng kể đối với qui mô của nó và có thể bỏ qua (coi như điểm không có nội tại). Hình học mô tả những biểu hiện của không gian vĩ mô được gọi là hình học vĩ mô.
- Không gian vi mô là không gian mà điểm đơn vị được cho là nhỏ nhất góp phần làm nên nó, có nội tại thực sự đáng kể, không thể bỏ qua được. Hình học mô tả sự thể hiện của không gian vi mô được gọi là hình học vi mô.
Đó là hệ thống qui ước mà chúng ta muốn đề xuất. Dù có thể là dài dòng và chắc còn nhiều thiếu sót, thì xin các nhà thông thái cũng đừng vội chê cười nó vì biết đâu, đó là bước chập chững tiên phong giúp cho ai đó có được một nền móng chắc chắn hơn để có thể bước những bước chững chạc trên con đường đến tương lai tươi sáng.
Đối với con người quan sát và tư duy được coi là đang ở tầng vĩ mô, có lẽ sự thể hiện khách quan của Không gian vĩ mô chỉ theo có một kiểu, nhưng sự thể hiện của không gian vi mô lại có thể có nhiều kiểu. Đó là vì càng đi “xuống” cõi vô cùng nhỏ thì biểu hiện về tính mạng khối của không gian càng tăng và cấu trúc không gian càng biến dạng. Nghĩa là ở những tầng nấc khu vực vi mô khác nhau, không gian cũng biểu hiện ra theo cách tương đối khác nhau. Nếu đúng như thế thì lĩnh vực hình học vi mô có thể là rộng lớn hơn nhiều so với của hình học vĩ mô, thậm chí là bao hàm cả hình học vĩ mô và hình học vĩ mô chỉ là một trường hợp riêng, đặc biệt của nó. Nói đúng hơn, sự biểu hiện của Không Gian Vũ Trụ là duy nhất nhưng do năng lực quan sát và tư duy của con người mà thành ra nhiều biểu hiện ở nhiều tầng nấc qui mô không gian khác nhau, và có thể phân ra một cách tương đối thành hai biểu hiện cơ bản là vĩ mô và vi mô.
Nói tóm lại, Vũ trụ hình học là sự phản ánh về Không Gian Vũ Trụ duy nhất. Do không thể đồng thời quan sát được hai biểu hiện vĩ mô và vi mô của Không Gian Vũ Trụ nên cũng không thể cùng một lúc bàn luận về chúng được. Vũ trụ hình học trở nên siêu hình, phân lập thành hai lĩnh vực hình học vĩ mô và vi mô là vì thế. Tuy nhiên, thực tại khách quan cho thấy có mối quan hệ qua lại mật thiết giữa hai biểu hiện vĩ mô và vi mô. Một hiện tượng xuất hiện trước nhãn quan vĩ mô có thể có nguyên nhân trong thế giới vi mô và ngược lại một hiện tượng xuất hiện trước nhãn quan vi mô cũng có thể có nguyên nhân trong thế giới vĩ mô. Hơn nữa, cần phải thấy rằng một biến cố xảy ra trong Không Gian Vũ Trụ là có tính duy nhất và vì thế mà nguyên nhân cuối cùng làm nảy sinh ra nó cũng là duy nhất. Chỉ có điều là do cấu trúc không gian ở các tầng nấc qui mô không gian khác nhau là tương đối khác nhau nên biến cố ấy cũng tạo ra những hiện tượng tương đối khác nhau trước các quan sát ở những tầng nấc qui mô không gian khác nhau ấy, và như vậy, cũng có thể chia thành hai tầng nấc cơ bản là vĩ mô và vi mô. Như vậy, có thể khẳng định rằng sự phân chia Không Gian Vũ Trụ ra thành hai tầng nấc vĩ mô và vi mô vừa có tính khách quan, vừa có tính chủ quan, vừa hợp lý, vừa phi lý, nhưng đối với quan sát và nhận thức thì là một vấn đề tất yếu. Từ đó mà phải đi đến kết luận rằng bản thân một Vũ trụ hình học nào được cho là hoàn hảo nhất, cũng không thoát khỏi “ách” siêu hình, đều bị phân ra thành những lĩnh vực nghiên cứu hình học khác nhau một cách cực đoan, mà trong trường hợp của chúng ta còn gồm hai lĩnh vực hình học vĩ mô và hình học vi mô. Chỉ có thể làm giảm được tính siêu hình và cực đoan bằng cách luôn nhận thức rằng Vũ trụ hình học dù bị phân lập nhưng vẫn thống nhất, hai lĩnh vực hình học vĩ mô và vi mô dù có thể trông rất khác nhau nhưng đều nằm trong một tổng thể nhất quán và có mối quan hệ qua lại sống động mà về nguyên tắc, có thể xây dựng nên một hệ thống qui ước (qui tắc) hợp lý làm cho chúng có thể chuyển hóa thành nhau.
Đến đây, coi như chúng ta đã mường tượng xong những vấn đề chung nhất đóng vai trò như những gợi mở làm nền tảng để có thể xây dựng một Vũ trụ hình học gồm hai thế giới vĩ mô và vi mô. Tiếp theo, chúng ta mường tượng như thế nào về hình học vĩ mô và hình học vi mô?
***
Khi qui ước điểm là một tồn tại không có nội tại thì không gian của Vũ trụ hình học được gọi là không gian của hình học vĩ mô, hay không gian vĩ mô. Để tránh những “rắc rối” về phương diện vật lý, chúng ta coi không gian vĩ mô là phản ánh của Không Gian Vũ Trụ trước quan sát ở tầm vĩ mô và trong trường hợp không hiện hữu bất cứ thiên thể nào (những hành tinh, các vì sao, thiên hà…). Như vậy, không gian vĩ mô chẳng khác nào một Hư Vô tồn tại, nghĩa là nó hoàn toàn trống rỗng, hoàn toàn tĩnh lặng. Nhưng dù là một Hư Vô thì không gian vĩ mô vẫn phải là Tự Nhiên Tồn Tại (dù ảo ảnh) và vì vậy nó vẫn phải thỏa mãn tính chất hữu biên mà vô hạn, đồng thời cũng hữu hạn mà vô biên.
Trong không gian vĩ mô, chúng ta có thể tùy tiện làm hiện hữu một hay nhiều điểm ở bất cứ đâu và (những) điểm ấy luôn luôn thuộc về không gian vĩ mô. Chúng ta gọi một tập hợp hữu hạn điểm nối tiếp nhau là “đoạn”; khi “đoạn” được nối dài từ cả hai đầu mút của nó ra ngoài tầm quan sát và tiếp tục mãi đến tận cùng khả năng (nghĩa là có thể đến vô tận), thì chúng ta gọi đó là “đường”. Do trong Hư Vô có thể tự do “sắp xếp” các điểm nối tiếp nhau mà cũng có đa dạng đường (cong, lượn, gấp khúc…). Một tập hợp điểm mà trong đó làm xuất hiện một tập hợp đường sao cho tập hợp đường ấy chia cắt không gian vĩ mô ra đúng hai phần (nghĩa là bản thân tập hợp đường ấy không có “bề dày”), thì được gọi là “mặt”. Một bộ phận hữu hạn của mặt được gọi là “phần mặt”. Mặt (hay phần mặt) cũng đa dạng như đường (hay đoạn). Một đoạn có hai đầu mút trùng nhau gọi là đường khép kín. Đường khép kín của một mặt (không tự cắt nó) sẽ phân chia mặt ấy thành hai phần gọi là “miền trong” và “miền ngoài”. Tương tự, chúng ta cũng có khái niệm “mặt kín”. Một mặt kín (không tự cắt nó) bao giờ cũng chia không gian ra thành hai phần gọi là “khối trong” và “khối ngoài”. Nếu chỉ quan tâm đến “miền trong” và “khối trong” thôi thì chúng ta gọi gọn lại là “miền” (hoặc “hình”) và “khối”. Dù không gian vĩ mô là trống rỗng thì nó vẫn phải có thể tích để thỏa mãn tính tồn tại của Hư Vô. Và nếu thể tích được xác định theo công thức tổng quát:
       
thì có thể nói một cách tương đối rằng khối không gian có bề dài, bề rộng và bề dày.
Dựa vào quan niệm trên, chúng ta có định nghĩa khác về đường, mặt, khối như sau:
- Một tập hợp hữu hạn điểm bất kỳ trong không gian được gọi là khối.
- Khi khối chỉ có bề rộng và bề dài thì được gọi là mặt. Mặt không có thể tích mà chỉ có diện tích, và công thức tính tổng quát là:
     
- Khi khối (hay mặt) chỉ có một bề thì bề đó gọi là bề dài và khối đó (hay mặt đó) gọi là đoạn (mà nếu kéo dài ra mãi ở cả hai đầu mút của nó thì được gọi là đường).
- Khi khối không có cả ba bề dài, rộng và dày (nghĩa là thể tích của nó bằng 0) thì nó chính là một điểm duy nhất.
Dễ thấy rằng do tính Hư Vô của điểm mà đường, mặt, khối cũng trở nên ảo và vì vậy cũng làm xuất hiện tính chồng chập không gian. Chẳng hạn “xuất hiện” một khối cầu Hư Vô trong không gian vĩ mô thì có thể thấy đó chỉ là một khối cầu mà cũng có thể cho rằng đó là gồm vô vàn khối cầu trùng kích thước và chồng chập nhau. Bởi lẽ Hư Vô cộng (hay nhân) với vô vàn Hư Vô thì cũng chỉ là Hư Vô mà thôi, chẳng thể nên một tý tẹo “cơm cháo” gì!
Thật là “khó chịu” đối với những người theo quan niệm duy tồn khi phải chấp nhận một không gian Hư Vô như vậy. Dù rằng trước cảm nhận trực giác ở tầm vĩ mô, sự rỗng rang Không Gian Vũ Trụ rất giống với Hư Vô nhưng không thể là Hư Vô được. Khi một điểm hiện hữu trong không gian ấy thì dứt khoát đó là sự biểu diễn của tồn tại, nên nó phải có nội tại, cái biểu diễn một bộ phận của Tồn Tại, mà xét về mặt thể chất là một bộ phận của Không Gian. Vì không gian là tập hợp các điểm có nội tại là Không Gian nên nó không thể Hư Vô được mà chỉ có thể cho rằng nó có tính hư vô (hư vô tương đối). Tuy nhiên để dễ dàng hơn cho quá trình bàn luận về hình học vĩ mô, chúng ta vẫn gán cho không gian của nó là Hư Vô, nhưng trong thành tâm thì vẫn phải nghĩ rằng đó là Tồn Tại. Chẳng hạn, đối với một điểm Hư Vô, rõ ràng số lượng các đường đi qua nó có thể là vô hạn, nhưng đối với điểm hư vô thì số lượng đó phải là hạn định.
Chúng ta quay lại bàn luận tiếp về đường. Vì thể chất của Không Gian Vũ Trụ là bảo toàn nên không gian của hình học vĩ mô cũng phải là một không gian hữu biên mà vô hạn đồng thời cũng hữu hạn mà vô biên. Để thỏa mãn tính chất ấy của không gian thì mọi đường trong không gian ấy đều phải thể hiện một cách nước đôi: vừa khép kín vừa không khép kín, lúc thế này lúc thế kia, và cũng không phải cả hai. Đường được phân thành hai loại là đường đa tạp và đường đơn. Đường đa tạp là đường trước khi khép kín, tự cắt nó một hay nhiều lần. Đường đơn là đường không tự cắt nó. Đường đơn cũng được chia thành hai loại. Đường đơn không tuân theo một quy luật duy nhất nào trên suốt chiều dài của nó, gọi là đường đơn tự do. Đường đơn tuân theo một quy luật duy nhất và quy luật ấy xác định hình dạng trên suốt chiều dài của nó thì gọi là đường đơn tự nhiên, hay gọi gọn là đường tự nhiên.
Về mặt hình dạng thì đường cũng có nhiều loại như: cong, vặn, xoắn, uốn, lượn, gãy khúc… mà tiêu biểu, đóng vai trò cơ sở là đường thẳng và đường tròn. Đường thẳng là đường không thay đổi phương trên suốt chiều dài của nó và không khép kín. Đường tròn là đường luôn thay đổi phương theo một qui luật duy nhất trên suốt chiều dài của nó và khép kín. Đường thẳng có độ dài lớn nhất tuyệt đối cũng chính là đường tròn có độ dài lớn nhất tuyệt đối.
Một mặt, nếu trên đó ở bất cứ phương nào cũng vẽ được một đường thẳng, thì được gọi là mặt phẳng. Trên mặt phẳng đó, nếu có một đoạn kín mà phương của nó thay đổi đều đặn lần lượt từ điểm này đến điểm kia trong suốt chiều dài của nó, thì đó gọi là đường tròn.
Qua một điểm cho trước, có thể vẽ được vô số và đa dạng các đường, trong đó có vô số đường tròn và vô số đường thẳng. Khi đường thể hiện tính đóng kín nên có thể nói cách khác là từ một điểm cho trước có thể vẽ được vô số và đa dạng đường mà đầu mút kéo dài của chúng chính là (hay trùng với) điểm đã cho. Nếu từ điểm đó vẽ một đường thẳng thì vì không gian là có biên nên khi đầu mút của nó đạt đến tột cùng xa thì chiều “tiến” của nó chuyển hóa thành tương phản với chiều ban đầu để đi theo phương ban đầu đến điểm tương phản (điểm ảo) với điểm ban đầu và đi qua điểm tương phản ấy, tiếp tục tiến tới “phía bên kia” của tột cùng xa. Khi đạt đến tột cùng xa (có tính tương phản với tột cùng xa lúc đầu qua gốc là điểm đã cho hay điểm ảo của nó), chiều “tiến” của đường lại chuyển hóa một lần nữa về chiều ban đầu của nó, theo phương không đổi, trở về điểm đã cho. Như vậy có thể thấy độ dài toàn phần của đường thẳng gồm độ dài thực và độ dài ảo của nó mà độ dài thực (hay ảo) bằng một nửa độ dài toàn phần. (Có thể tưởng tượng rằng trong thực tại, độ dài thực của đường thẳng đóng vai trò như đường kính của Vũ Trụ và độ dài ảo của nó đóng vai trò như đường kính hạt KG. Trong tương phản âm - dương, tổng hai độ dài ấy sẽ bằng 0 (thực ra là bằng nếu theo quan niệm của chúng ta vì: , nghĩa là bằng 1 trung tính, không âm không dương), và trong tương phản nghịch đảo, tích hai độ dài ấy sẽ bằng 1 (nghĩa là ; hoặc cũng có thể ).
Tuy nhiên, vì Tự Nhiên Tồn Tại là không thị phi nên cũng chẳng có chút ưu tiên cho chủ thể quan sát nào cả. Do đó điểm đã cho cũng có thể “nằm” ở khu vực tột cùng xa đối với một chủ thể quan sát khác đang ở tột cùng xa nhưng cho rằng bản thân đang ở khu vực lân cận trung tâm Vũ Trụ. Và ở đó, chủ thể quan sát đó cũng thấy đường thẳng đi qua điểm đã cho mà chẳng đổi chiều gì cả. Như vậy nghĩa là tại bất cứ điểm nào của đường thẳng cũng đều thấy hiện tượng đường thẳng đi qua một cách bất biến. Xét theo góc độ này thì đường thẳng đã chuyển hóa thành đường tròn. (Thật là quá ư kỳ quặc! Rất may là không thể quan sát được hai hiện tượng đó cùng một lúc! Hơn nữa, biết đâu chừng điều đó có thể còn ít kỳ quặc hơn việc cho rằng đường thẳng là dài vô hạn độ trong một không gian có thể chất được bảo toàn tuyệt đối? Có một hiện tượng trong thực tiễn làm chúng ta bớt “sợ hãi” đó là khi đặt một đường tròn (hay mặt tròn) thẳng góc với mặt tấm gương thì ảnh trong gương của nó chỉ là một đoạn thẳng). Nếu thế, về phương diện nào đó, phải cho rằng đường tròn và đường thẳng là tương đương nhau và là tương phản ảo - thực của nhau qua một mốc nào đó có thể là đường vừa tròn vừa thẳng, không tròn không thẳng mà cũng không phải cả hai (đường cong nào đó chăng?). Trong một biểu hiện khác nữa để được trực giác xác nhận hơn, đó là đường thẳng nói trên “cắt” đường tròn tương ứng với nó thành hai phần bằng nhau và đảm nhận luôn vai trò đường mốc tương phản của hai nửa đường tròn đó, mà trong tương phản âm - dương, tổng hai nửa đường tròn đó đúng bằng chu vi đường tròn và mất tính tương phản, còn trong tương phản nghịch đảo, tích hai nửa đường tròn đó phải bằng 1 (có thể cho rằng 1 là độ dài của đường thẳng đã phân đôi đường tròn và đường tròn chọn luôn nó là đơn vị đo độ dài cho mình, lúc này chu vi đường tròn chính bằng và trong tương phản nghịch đảo thì: ).
Nếu gọi độ dài của phần thực đường thẳng là d thì độ dài toàn phần của nó là D=2d và tương ứng, chu vi đường tròn thực phải là và chu vi toàn phần của nó phải là . Hiểu điều này như thế nào? Trước hết, cần phải đồng thuận rằng điểm nào cũng bình đẳng với điểm nào, nghĩa là điểm nào cũng là điểm thông thường và đồng thời cũng là điểm ở tột cùng xa, điểm nào cũng là điểm thực và đồng thời cũng có thể là điểm ảo, và như vậy, không gian vĩ mô vừa là thực mà cũng vừa là ảo, vừa không có tâm nhưng điểm nào cũng có thể là tâm của nó. Trên cơ sở quan niệm đó, có thể hiểu điều trên là: nếu từ một điểm cho trước đi theo một đường thẳng và đi hết chiều dài toàn phần của nó để về lại điểm đã cho, thì hành trình ấy là tương đương với hành trình cũng xuất phát từ điểm đã cho, đồng thời đi theo hai chiều tương phản nhau nào đó và trên hai đường tròn giống hệt nhau, đều nhận đường thẳng đang nói tới là đương phần đôi, sao cho khi đường thẳng “về” đến điểm đã cho thì hai đường tròn đó cũng đồng thời “về” đến điểm đã cho. Tuy nhiên vì đường thẳng là liên tục cho nên hai đường tròn nói trên phải là liên thông nhau, phải là hai “đoạn” tương phản ảo - thực của nhau (không trùng nhau) của một đường toàn phần nào đó có tính tròn nhưng không phải đường tròn. Chúng ta tạm gọi đường tròn này là “đường giả tròn”. Đường giả tròn là đường cũng luôn thay đổi phương từ điểm này qua điểm khác một cách đều đặn trên suốt chiều dài của nó.
Nếu cho một điểm bất kỳ và từ điểm ấy vẽ một đường giả tròn thì khi đầu mút của nó đạt đến tột độ xa, nó sẽ chuyển hóa thành ảo để đi đến điểm ảo, rồi qua điểm ảo đến tột độ xa của miền ảo, khi vượt qua miền ảo, nó lại chuyển hóa thành thực và trở về điểm đã cho. Điểm đã cho là điểm thực của điểm ảo. Trong không gian Hư Vô, vị trí của điểm ảo có vẻ được thấy trùng với điểm thực. Tuy nhiên trùng không có nghĩa là khoảng cách của chúng bằng 0. Chúng có vẻ trùng nhau mà thôi vì thực ra giữa chúng là “muôn trùng xa cách”. Rất khó hình dung đường giả tròn, nhưng chúng ta cũng cố gắng tìm cách miêu tả ở hình 2/a.
Từ điểm thực A, đường giả tròn đi đến điểm thực tột cùng xa B. Khi vượt qua B, đường giả tròn thực chuyển hóa thành đường giả tròn ảo tiến về điểm ảo A' rồi vượt qua A' tiến đến điểm tột cùng xa của miền ảo là B'. Từ đây đường giả tròn ảo lại chuyển hóa thành thực để đi về điểm thực A ban đầu. Để “thấy” được đường giả tròn một cách tỏ tường hơn (dù… “sai bét” hơn), chúng ta có thể “tùng xẻo” hình 2/a, “phanh thây” nó ra thành hình 2/b (rùng rợn quá!), và “đánh dấu” thêm.
Đối với đường giả tròn thì 2 điểm tột cùng xa của miền thực cũng chính là 2 điểm tột cùng xa của miền ảo. Để thấy được điều này, nếu chúng ta cũng bắt đầu từ điểm A, “vẽ” đường giả tròn nhưng theo chiều ngược lại và giả sử rằng điểm C là điểm tột cùng xa đầu tiên của miền thực cũng như miền ảo. Khi đường giả tròn đến C, nó chuyển hóa thành ảo đi qua B' (lúc này không còn là điểm tột cùng xa nữa, rồi tiếp tục qua A' để đến với E' ( là điểm tột cùng xa thứ hai của miển ảo lẫn miền thực). Ở đây nó chuyển hóa trở lại thành đường thực, đi qua B (lúc này cũng chỉ là điểm thông thường), về lại A. Nếu có một đường thẳng nối hai điểm C (hay C') và E (hay E'), thì độ dài toàn phần của nó và bản thân nó đóng vai trò là đường phân đôi (đường kính) của đường giả tròn. Một cách siêu hình, có thể cho rằng độ dài toàn phần của đường giả tròn trên hình 2/b là bằng tổng hai đường tròn O1, O2 và cũng chính là bằng chu vi đường tròn O. Chú ý rằng nếu thể hiện các điểm tột cùng xa C và E (hay C' và E') trên hình không triển khai 2/a thì sẽ thấy chúng dường như trùng nhau. (Với quan niệm bất kỳ điểm nào cũng có thể là điểm ở tột cùng xa thì khi cho điểm A, nó cũng là điểm C, và điểm B là điểm tận cùng xa thứ hai của không gian ở miền thực (lúc này C' và B' là hai tận cùng xa của không gian miền ảo). Có lẽ nên quan niệm như vậy mới đúng hơn chăng?).
Hình 2: Miêu tả tượng trưng về đường giả tròn.
Một trong những điều “vui nhộn” nhất về quan niệm đường giả tròn là nếu vẽ lại một cách tượng trưng phần thực của nó ở hình 2/b trong trường hợp điểm C (C’) và E (E’) là các điểm tột cùng xa, xoay hình đi một chút và thêm cho nó hai “con mắt” thì chúng ta sẽ có một Thái cực (xem hình 3).
Trong thực tại, độ dài toàn phần của đường giả tròn không thể nhỏ hơn chu vi đường tròn O ở hình 2/b. Nếu cho độ dài đường kính là bằng D và độ dài toàn phần của đường giả tròn là bằng thì phải có:
Hình 3: Thái cực xuất hiện khi triển khai đường giả tròn
Có thể gọi đường giả tròn ở hình 2/a là “đường biên” hay “đường chân trời” của Không Gian Vũ Trụ. Đó là đường vừa thực vừa ảo, không thực không ảo, là cả hai mà cũng không phải cả hai, và không thể quan sát được “trọn vẹn” nó trong cùng một lúc cũng như trong thực tại. Trong mối tương phản nghịch đảo, vì có thể thấy đoạn thực của đường giả tròn có độ dài rất lớn (Không Gian Vũ Trụ dường như là vô tận) nên đoạn ảo của nó được coi như vô cùng nhỏ và có thể bỏ qua. Lúc này, độ dài toàn phần của đường giả tròn chỉ còn bằng phần thực của nó. Phần thực đó cũng được cho là khép kín và được gọi với cái tên là “đường trắc địa”.
Đường biên của Không gian vĩ mô là một đường giả tròn đóng vai trò liên thông giữa hai miền thực và ảo của Không gian ấy. Đó là một trong nhiều biểu hiện về tính vừa phân định tương phản vừa liền lạc thống nhất của Vũ Trụ. Tính lạ kỳ của đường biên Vũ Trụ còn gợi ý cho chúng ta đến khái niệm mặt biên của Vũ Trụ. Mặt biên của Vũ Trụ phải hàm chứa vô vàn đường biên Vũ Trụ và vì thế có thể tưởng tượng được mặt đó vừa là mặt của miền ảo, vừa là mặt của miền thực, là mặt phân định ra hai miền đó, đồng thời là mặt kín bao hàm toàn bộ không gian. Nghĩa là Không Gian Vũ Trụ có trong mà cũng có ngoài, không có trong mà cũng chẳng có ngoài, đồng thời là cả hai mà cũng không phải cả hai. Hình dung ra một mặt như thế theo “thói quen” trực giác không gian thông thường là một điều cực kỳ khó khăn nếu không muốn nói là không thể. Tuy nhiên, có thể phần nào cảm nhận được đường biên cũng như mặt biên của Không Gian Vũ Trụ ở tầng vĩ mô, nếu chúng ta nhớ lại và liên tưởng đến những phát hiện của hình học trong lý thuyết Tôpô.
Trong thực tại, chúng ta thấy mặt nào cũng có hai phía. Một tờ giấy có mặt bên này thì cũng có mặt bên kia, một cái hộp có mặt trong thì cũng có mặt ngoài. Nhà toán học Miôbiux là người đầu tiên phát hiện ra rằng, cũng có những mặt chỉ có một phía và dải băng mang tên ông trở nên nổi tiếng trong lịch sử hình học, cũng đồng thời là một minh họa điển hình cho loại mặt này (xem hình 4). Nếu từ điểm A, vẽ một đường dọc theo chiều dài của dải băng (hướng mũi tên) và đường đó ở giữa dải băng thì sẽ được một đường cong kín, đi qua toàn bộ bề mặt của nó mà không thể phân biệt được đâu là mặt trong, đâu là mặt ngoài. Người ta nói dải băng miôbiux chỉ có một mặt và mặt đó gọi là mặt một phía. Có thể hình dung đường giả tròn là đường ở trung tâm dải băng đó.
Hình 4: Dải băng Miobiux
Khi còn là sinh viên, nhà toán học Felix Klein (1849-1925) đã rất say mê với những tư tưởng của Riman trong “bài giảng thử” năm 1854. Ông có một niềm cảm hứng đặc biệt đối với hình học và đã làm việc để mở rộng những tư tưởng hình học trong nghiên cứu tôpô. Klein cũng đã đưa ra một hình mẫu nói về mặt một phía gọi là “bình Klein”. Bình này có một mặt kín nhưng lại không chia không gian thành phần “trong” và phần “ngoài”. Nếu mặt của dải băng Miôbiux là mặt hai chiều xoắn theo chiều thứ ba thì mặt của bình Klein là mặt ba chiều, xoắn theo chiều thứ tư. Bình Klein là một gợi mở tốt cho ý tưởng về sự tồn tại mặt biên của Không Gian Vũ Trụ.
Bây giờ, chúng ta chuyển sang bàn luận đến trường hợp cho trước hai điểm (một cách tùy ý) trong không gian của hình học vĩ mô. Tương tự như trường hợp cho trước một điểm, đối với hai điểm cho trước cũng vẽ được vô số và đa dạng đường qua hai điểm ấy. Tuy nhiên chỉ có thể vẽ được duy nhất một đường thẳng đi qua chúng mà thôi. Vì đường nào cũng khép kín cho nên hai điểm ấy luôn chia đường thành hai đoạn. Đối với đường thẳng thì đoạn ngắn hơn nối hai điểm ấy là đoạn có độ dài ngắn nhất so với mọi đoạn nối hai điểm ấy và được gọi là “khoảng cách” giữa hai điểm ấy. Vì hai điểm được cho trước tùy ý, nên chúng có thể đều ảo, đều thực, hoặc một thực một ảo. Nếu hai điểm đó là thực, ảo của nhau thì khoảng cách giữa chúng có thể đạt đến độ dài toàn phần của đường thẳng. Nếu hai điểm đó là trùng nhau (trong không gian hư vô) thì khoảng cách của chúng vừa bằng độ dài toàn phần của đường thẳng, vừa bằng 0 (và bằng 1 nếu chúng kề nhau). Nếu hai điểm ấy là cùng thực (hoặc cùng ảo) thì bao giờ cũng qui ước được một trong hai điểm ấy là điểm ở tận cùng xa và điểm kia là “lân cận” của nó. Nếu sự “lân cận” ấy trở nên tận cùng xa thì hai điểm đã cho là hai điểm tận cùng xa của nhau và khoảng cách của chúng đúng bằng độ dài đoạn thực của đường thẳng.
Từ nay chúng ta coi như miền ảo của không gian vĩ mô là không đáng kể và bỏ qua nó. Vì vậy có thể nên định nghĩa: đường thẳng là đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm tận cùng xa của nhau. Còn đoạn thẳng là đoạn có ít nhất một đầu mút là điểm thông thường (ở “lân cận” đầu mút kia!).
Trên đường thẳng qua hai điểm đã cho có thể làm xuất hiện thêm nhiều điểm khác và chúng ta gọi những điểm như vậy là thẳng hàng đối với nhau. Có thể thấy rằng qua ba hay nhiều điểm thẳng hàng, chỉ có thể vẽ duy nhất một đường thẳng, thế nhưng qua ba điểm thẳng hàng cho trước, không thể nào vẽ được một đường tròn.
Khi có ba điểm cho trước không thẳng hàng, sẽ không bao giờ vẽ được một đường thẳng qua ba điểm ấy nhưng sẽ vẽ được duy nhất một đường tròn qua chúng. Hiển nhiên là nếu nối ba điểm ấy bằng những đoạn thẳng thì chúng hợp thành một đường gấp khúc khép kín và lập nên một hình tam giác nội tiếp đường tròn duy nhất đi qua ba điểm đã cho đó.
Cũng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước, có thể vẽ một đường bất kỳ qua hai điểm mà không qua điểm còn lại. Vậy qua điểm còn lại đó có thể vẽ được một đường giống hệt nó (được gọi là trùng khít tuyệt đối với nó). Chúng ta gọi hai tập hợp điểm của hai đường đó có quan hệ tương ứng một một và nếu khoảng cách của các điểm tương ứng của hai đường đó là bằng nhau tuyệt đối (bất biến) trên suốt chiều dài của chúng thì chúng được gọi là hai đường song song với nhau. Nếu đó là hai đường thẳng thì gọi là hai đường thẳng song song. Từ đây, chúng ta có định đề 5 Ơclít: qua một điểm ngoài đường thẳng cho trước chỉ có thể vẽ được một đường thẳng và chỉ một mà thôi, song song với đường thẳng đã cho. Vì không gian của hình học vĩ mô là trống rỗng nên có thể đặt ra những qui ước khác nhau thay cho định đề 5 Ơclít để có những hình học vĩ mô khác nhau phi Ơclít (miễn là không mâu thuẫn).
Chúng ta gọi những đường không song song nhau là những đường chéo nhau hoặc cắt nhau và cả những đường có vẻ như song song nhau (gọi là giả song song) nhưng khác nhau về hình dạng.
Quan niệm về đường thẳng thuần túy, có hai điểm mút ở tận cùng xa, khi bỏ qua miền ảo, vẫn còn gây rất nhiều áy náy. Vì điểm tận cùng xa cũng có thể là điểm thông thường nếu chúng ta “ở đó” nên đường thẳng vẫn phải tiếp tục được kéo dài ra nữa. Như thế dẫn đến phải quan niệm về một không gian vô tận “thực sự” và tuyệt đối. Quan niệm như thế sẽ làm cho NTT, người khởi xướng ra triết học duy tồn “buồn thúi ruột”. Cần phải tìm cách cãi cho được để ông ta khỏi phiền lòng!
Có lẽ rằng luôn phải lưu ý tới nội tại của một điểm dù là bỏ qua nó. Cũng theo quan niệm của hình học vĩ mô mà nhìn thế giới vô cùng nhỏ trong không gian vĩ mô thì một điểm không gian tận cùng nhỏ có nghĩa cũng là ở tận cùng xa và vì “thấy” được nó, nên cũng tận cùng gần. Từ “rìa” một điểm tận cùng gần cho trước, nếu vẽ một đường thẳng thì đường thẳng đó sẽ tiến tới tận cùng xa và như thế, điểm mút của nó sẽ đến tiếp giáp với “rìa” bên kia của điểm đã cho. Nếu bỏ qua nội tại của điểm thì điểm mút của đường thẳng sẽ trùng với điểm mút ban đầu của nó. Nếu không bỏ qua nội tại của điểm đã cho thì đường thẳng phải phát triển tiếp, xâm nhập vào nội tại điểm đã cho, được gọi là miền ảo của không gian, mà theo “quan sát” của đường thẳng cũng đã chuyển hóa thành ảo đó chính là miền thực của một vũ trụ bao la “thứ thiệt”. Như vậy, một đường thẳng xuất phát từ một điểm bất kỳ nào trước sau gì cũng về lại điểm đó. Thế nhưng một đường thẳng như thế thì sao mà thẳng nữa mà phải cho rằng nó cong và đồng thời cũng là đường trắc địa.
Làm sao mà dung hòa được giữa tính vô tận của không gian và tính cong của đường thẳng? Phải chăng ở trạng huống không gian “rất gần” với sự vô tận của vô cùng lớn thì đường trắc địa (qui ước là đường tròn) và đường  phân đôi nó (qui ước là đường thẳng) là ảo - thực của nhau, nghĩa là nếu đi trên đường thẳng thì “hiện thực” là đi trên đường trắc địa và “thấy” đường thẳng (như “ảo ảnh”) là đường tròn, và ngược lại, nếu đi trên đường tròn thì “hiện thực” là đi trên đường thẳng và “thấy” đường tròn (như ảo ảnh) là đường thẳng (hay theo quan niệm vật lý là chuyển động đều trên đường thẳng thì thấy đang “quay” vì “cảm” được lực hướng tâm, còn “quay” trên đường tròn thì thấy đang chuyển động thẳng đều vì không “cảm” được tác dụng của lực)?
Dù không gian của hình học vĩ mô được thấy là rỗng không, có cái vẻ êm đềm, tĩnh lặng và thuần khiết nhưng chính sự ẩn hiện đa dạng các loại đường, muôn màu muôn vẻ những mối quan hệ giữa chúng, đã làm phát lộ ra ở mức độ nhất định tính đa tạp của nó. Một trong những biểu hiện cơ bản của không gian vĩ mô là mối quan hệ khăng khít và sự chuyển hóa sinh động qua lại giữa tính thẳng (bất biến hướng) và tính cong tròn (biến đổi đều đặn hướng trên một mặt phẳng). Chính sự chuyển hóa trong mối quan hệ giữa tính thẳng và tính cong tròn mà làm xuất hiện các đường cong, đường lượn, đường sóng… và các mặt lượn, vặn xoắn…
Cần thấy rằng những biểu hiện đa tạp đó trước sau gì cũng được nhận thức thừa nhận và nhận thức ngày càng thấu đáo, bởi vì đó chính là những phản ánh ở chừng mực nhất định cái bản chất vốn dĩ của Vũ Trụ.
Trong không gian vĩ mô, đường thẳng tuyệt đối (hay gọi là thẳng thuần túy) và cong tròn tuyệt đối (hay còn gọi là cong tròn thuần túy) chỉ có thể là lý tưởng, thuộc tồn tại ảo. Tất cả các loại đường, không ít thì nhiều, đều cong. Đó là biểu hiện những kết hợp giữa thẳng thuần túy và cong tròn thuần túy. Có thể nói, không có một đường thẳng nào lại không cong và không có một đường cong tròn nào lại không thẳng, hay nói cách khác là trong cong có thẳng và trong thẳng có cong. Để khảo sát và nghiên cứu mối quan hệ và chuyển hóa giữa thẳng và cong tròn, quan sát và tư duy ở tầng vĩ mô phải đề ra những qui ước chủ quan của mình để đi đến một khái niệm cơ sở, đó là “độ cong” của đường, mặt, không gian. Có thể nói độ cong là một trong những “thước đo” về mức độ vặn, xoắn, uốn lượn cũng như tầm cỡ qui mô của không gian theo quan điểm của chủ thể quan sát và tư duy ở tầng nấc vĩ mô nào đó.
Hình 5: Khái niệm về độ cong
Trong Vũ Trụ hình học, chúng ta có thể tưởng tượng ra được một đoạn thuần thẳng nào đó và có thể vẽ một cung tròn nhận nó là đường kính. Cảm nhận trực giác cho thấy nếu cho đường kính đó ngày một dài ra thì sẽ vẽ được những cung tròn có vẻ ngày càng “dãn” ra so với cung tròn ban đầu và đến một lúc mà cung tròn bị dãn ra đến nỗi một đoạn của nó trong tầm quan sát được, trông chẳng khác nào một đường thẳng (xem minh họa ở hình 5). Hiện tượng đó chỉ ra rằng đi về phía qui mô vô cùng lớn của không gian, tính cong tròn giảm đi và tính thẳng tăng lên và ngược lại, đi từ phía qui mô không gian vô cùng lớn đến phía không gian vô cùng nhỏ, tính thẳng giảm đi còn tính cong tròn tăng lên. Hay nói cách khác là chu vi của đường tròn càng lớn thì độ cong của nó càng nhỏ và ngược lại, chu vi của nó càng nhỏ thì độ cong của nó càng lớn. Giả sử có hai đường tròn có đường kính lần lượt là D1 và D2.
Chu vi của chúng được tính lần lượt là và . Để so sánh độ cong giữa chúng, ta lập mối quan hệ tỷ lệ:
                 
Nếu , chúng ta nói độ cong của đường tròn có đường kính D1 nhỏ hơn độ cong của đường tròn có đường kính D2. Nếu , chúng ta nói độ cong của đường tròn có đường kính D1 lớn hơn độ cong của đường tròn có đường kính D2.
Với cách xác định độ cong như trên thì cũng có thể bằng 1:
                 
Nghĩ là: độ cong của một đường tròn so với chính nó bao giờ cũng bằng 1.
Điều đó dẫn đến nghi vấn: hình như độ cong của không gian chỉ là ý niệm hoàn toàn chủ quan của chủ thể quan sát, tư duy và nhận thức ở một tầng nấc kích cỡ qui mô không gian nào đó. Dường như chủ thể quan sát có thể tùy tiện chọn bất cứ chu vi đường tròn nào làm chuẩn trong việc đánh giá mức độ cong cũng được? Và như thế mức độ cong của không gian một tầng nấc qui mô nào đó sẽ bất ổn và hoàn toàn tùy thuộc vào sự đánh giá của một hệ quan sát. Hơn nữa, vì độ cong của một đường tròn so với chính nó luôn bằng 1 là một hiện tượng bất biến và phổ biến ở mọi tầng nấc qui mô không gian, cho nên có thể nghĩ rằng sự trình diễn của không gian ở tầng nấc qui mô nào đó trước chủ thể quan sát “thuộc” tầng nấc đó cũng y hệt sự trình hiện của không gian ở tầng nấc khác đối với một chủ thể quan sát khác “thuộc” tầng nấc này. Có thể nào cho rằng vì ở tầng nấc của chúng ta, tính thẳng, phẳng Ơclít của không gian là một hiện thực không thể chối cãi được (dù bên cạnh đó cũng có thể cùng tồn tại cả tính phi Ơclít), nên tính Ơclít của không gian vĩ mô, dù là ở chốn vô cùng xa hay vô cùng gần, ở cõi vô cùng nhỏ hay vô cùng lớn? Hay không gian vĩ mô chẳng phải Ơclít mà cũng chẳng phải phi Ơclít (vì nó hư vô) và tùy theo quan niệm chủ quan của chủ thể quan sát, nhận thức mà nó có thể như thế này hoặc như thế kia? Giả dụ đúng thế thật thì cái không gian đó là do con người duy ý chí trong mê lầm sáng tạo ra và nó chỉ có thể hiện hữu trong Vũ Trụ là một lực lượng có thực, là cái có trước, cái nhờ Nó mà chủ thể quan sát và tư duy được sinh ra, làm bộ phận của Nó. Không, chủ thể quan sát và tư duy dù “muốn” nhận thức như thế nào về Không Gian Vũ Trụ mặc lòng, Không Gian ấy vẫn tồn tại và vận động theo “ý chí khách quan” của nó, theo cách tự nhiên vốn dĩ. Sự gây nhiễu và lũng đoạn của tính chủ quan không hề mảy may ảnh hưởng đến cấu trúc và hành vi của Không Gian Vũ Trụ mà chỉ làm cho chủ thể quan sát và tư duy tự “hành hạ khốn khổ” bản thân mình, tự gây cho mình mù quáng mà thôi.
Để bảo vệ những “thành quả” đã “gặt hái” được trong những bàn luận “một cách triết học” về không gian thực tại, chúng ta không thể phủ nhận sự thực khách quan về độ cong của không gian vĩ mô. Đồng thời, để không mâu thuẫn thì chúng ta cũng không thể phủ nhận được rằng độ cong đó cũng nhuốm đậm màu sắc chủ quan của chủ thể quan sát và tư duy, mà nguyên nhân làm nảy sinh ra là do bản chất của nhận thức. Vậy thì, đến đây, chúng ta có thể khẳng định: Không Gian Vũ Trụ, theo năng lực quan sát bị giới hạn trong phạm vi vĩ mô, thực sự là có độ cong; độ cong đó cực đại ở tầng nấc tận cùng nhỏ và cực tiểu ở tầng nấc tận cùng lớn. Quá trình giảm độ cong không gian từ tầng nấc qui mô vô cùng nhỏ đến tầng nấc qui mô vô cùng lớn (hoặc ngược lại) là liên tục vì bản thân không gian không tự phân ra các “khoảng” tầng nấc qui mô. Việc phân ra thành các “khoảng” tầng nấc, các lớp không gian chỉ là tương đối, có tính ước lệ bởi chủ quan của chủ thể quan sát và tư duy (được cho là đang hiện hữu và nghiên cứu ở đâu đó trong thế giới vĩ mô!).
Nếu chúng ta chọn một khoảng cách nào đó làm độ dài cho một đoạn thẳng và chọn đoạn thẳng đó là đường kính của một đường tròn qui ước là chuẩn để dựa vào đó mà đánh giá độ cong của các tầng nấc qui mô không gian khác nhau do chính chúng ta phân định theo qui ước chủ quan của mình thì rõ ràng chúng ta đã sáng tạo ra một không gian có “cách biểu hiện” độ cong theo quan điểm của riêng chúng ta. Về mặt hình thức, không gian đó có thể đã mô tả phù hợp với không gian thực tại nhưng về mặt thực chất nó đã trở nên “dị dạng” so với không gian thực tại bởi sự nhiễu loạn của qui ước chủ quan, và cái không gian đó chỉ có thể hiện hữu trong Vũ trụ hình học, nghĩa là trong sự tưởng tượng của chúng ta mà thôi. Chẳng hạn, chúng ta cho rằng ánh sáng truyền thẳng và chọn quãng đường đi được của tia sáng trong một giây (300.000 km) là đường kính của đường tròn chuẩn để đánh giá độ cong, và gọi đường kính của nó là đơn vị độ cong không gian (bằng 1). Để xác định độ cong của một đường tròn bất kỳ có đường kính D nào đó, chúng ta có thể viết:
 
và gọi đó là độ cong của đường (gọi như thế, vì diện tích mặt cầu là và thể tích khối cầu là , nên chúng ta cũng có thể gọi:

Khi D tăng trưởng đến vô cùng lớn thì tiến tới vô cùng nhỏ. Hiện tượng được suy ra trong nhận thức hoàn toàn chủ quan này ắt phải dẫn chúng ta đến kết luận: độ cong của đường tròn vô cùng lớn đó so với đơn vị chuẩn đã chọn là hầu như bằng 0, nghĩa là tính cong của nó hầu như không còn nữa và có thể coi nó là đường thẳng. Tuy nhiên, kết luận này chỉ đúng và cũng chỉ “phục vụ” cho chúng ta, những chủ thể quá ư nhỏ bé và thiển cận (nhưng cứ nằng nặc đòi làm chúa tể!) thôi, chứ đối với một chủ thể quan sát có “tầm vóc” khổng lồ đến mức cũng… vô cùng lớn thì sự thể sẽ hoàn toàn khác. Đường tròn, dù có gọi là thẳng thì cứ vẫn là đường tròn!
Tương tự, nếu D là vô cùng nhỏ thì chúng ta phải đi đến kết luận: độ cong “ở đó” là vô cùng lớn và đường tròn có đường kính D hầu như không còn tính thẳng nữa. Tuy nhiên, đối với chủ thể quan sát ở rất “sâu” trong nội tại của đường tròn đó thì lại thấy độ cong của nó “chẳng nhằm nhò gì”, thậm chí có thể cho là  bằng 0 và đường tròn đó được thấy như một đường thẳng.
“Tệ hại” hơn nữa, nếu chúng ta cho rằng bản thân đang sống trong một không gian có kích cỡ qui mô về khoảng cách là gấp đôi từ chỗ chúng ta đặt trạm quan sát đến đường chân trời (vì chúng ta không thể thấy được bất cứ điều gì xảy ra ở “bên kia” đường chân trời) và tạm cho rằng nó bằng 300 km, thì độ cong của không gian này so với chuẩn mà chúng ta đã chọn là:
Và nếu tính theo độ cong khối thì là:
Đó là những độ cong không phải nhỏ! Thế nhưng trực giác lại cho chúng ta thấy rằng thực tế thì không gian “của chúng ta” chẳng có độ cong nào. Nó vẫn cứ phẳng và thẳng như hệ tiên đề Ơclít đã qui định và người ta vẫn cứ hồn nhiên xây dựng những tòa nhà cao vút và thẳng tăm tắp. Những kim tự tháp Ai Cập có thể bị xói mòn do mưa gió nhưng vẫn đứng vững hàng ngàn năm nay, hiên ngang và quắc thước ngó trừng trừng vào một không gian có độ cong để cố tìm ra lời đáp cho câu hỏi: không gian cong theo phương chiều nào?
Kính thưa các kim tự tháp Ai Cập, những bia mộ vĩ đại còn sừng sững đến ngày nay để chứng thực cho một giai đoạn hào hùng và đau thương của lịch sử một dân tộc - một bộ phận loài người, không gian cong theo “phương chiều” từ vô cùng lớn đến vô cùng nhỏ, cũng vì thế mà đối với một quan sát vĩ mô, phương chiều ấy là bất định.
Sự lựa chọn chuẩn mốc để đánh giá độ cong không gian một cách tùy tiện như vậy đã làm cho không gian của hình học vĩ mô vốn dĩ đã bị biến dạng lại càng thêm biến dạng so với không gian thực tại. Để khắc phục tình trạng đó, không còn cách nào khác, chúng ta sẽ phải tất yếu đi đến lựa chọn cuối cùng có tính duy nhất: độ cong cực đại tuyệt đối. Đơn vị đó, nếu so với nó, sẽ bằng 1 tuyệt đối. Số Một tuyệt đối này chính là chỉ thị về tính lớn nhất và không thể lớn hơn được nữa của độ cong cực đại tuyệt đối. Vì độ cong lớn dần từ qui mô không gian vô cùng lớn đến qui mô không gian vô cùng nhỏ, cho nên độ cong cực đại tuyệt đối chỉ có thể tồn tại ở “đáy cuối cùng” vô cùng nhỏ trong không gian của hình học vĩ mô. Vô hình dung, cái “đáy cuối cùng đó” phải là điểm nhỏ tuyệt đối của không gian vĩ mô và độ cong cực đại tuyệt đối phải là độ cong của đường tròn nhận “bề dày” của điểm tuyệt đối là đường kính.
Quan niệm như thế sẽ làm cho nhận thức về độ cong không gian trở nên chân thực hơn, nhưng đồng thởi lại mâu thuẫn với quan niệm điểm của không gian là không có nội tại. Vậy thì phải suy tư theo hướng nào đây? Chấp nhận cả hai! Nghĩa là ở những lĩnh vực nghiên cứu nào mà “không cần” đến sự tồn tại nội tại của điểm thì chúng ta “quẳng” nó đi, ở những lĩnh vực nghiên cứu cần đến nó thì chúng ta “lượm” lại. Làm như thế cho “khỏe”!
Khi cảm nhận trực giác bị giới hạn trong phạm vi của tầng nấc không gian vĩ mô và chưa có bất cứ một mầm mống “cảm năng tiên thiên nào”, thì con người cứ ngỡ rằng không gian chỉ có tính liên tục, tĩnh tại, đều đặn và đồng dạng. Dù ở đâu, cõi vô cùng xa hay khu vực lân cận, tầng vô cùng lớn hay vô cùng nhỏ, đều phải thấy đúng một “loại” không gian có đặc tính như thế. Trong không gian vĩ mô, vì điểm (được cho là có hình dạng cầu) là tồn tại nhỏ tuyệt đối nên đường kính của nó cũng ngắn tuyệt đối và như vậy đường tròn của nó cũng phải có độ cong cực đại. Độ cong cực đại bao giờ cũng bằng 1 và là một bất biến. Chúng ta chọn độ cong tuyệt đối đó làm chuẩn mốc để xác định độ cong của mọi tầng nấc qui mô không gian nào đó mà chúng ta qui ước.
Để không làm cho triết học duy tồn “đau đớn” thì phải quan niệm không gian vĩ mô có độ cong và tồn tại một độ cong cực đại tuyệt đối. Nếu thực sự tồn tại độ cong cực đại tuyệt đối thì nó chỉ có thể hiện hữu ở giới hạn vô cùng nhỏ của không gian vĩ mô và như vậy phải đi đến nhận thức rằng độ cong của không gian vĩ mô giảm dần từ tầng nấc vô cùng nhỏ đến vô cùng lớn. Đoạn thẳng đại diện cho độ cong cực đại tuyệt đối chính là đường kính của điểm và vì ở “trong” điểm nên nó thuộc về lực lượng nội tại của điểm và mang tính ảo. Nếu ký hiệu đoạn thẳng ngắn nhất tuyệt đối của không gian vĩ mô đó là dmin thì trong mối tương phản nghịch đảo, đoạn thẳng tương phản của nó được xác định:
Dmax chính là đường kính của toàn khối không gian vĩ mô và là đại diện cho độ cong cực tiểu tuyệt đối.
Vì tương phản nghịch đảo của đoạn ngắn tuyệt đối phải là đoạn dài tuyệt đối, nên độ dài của đường trắc địa không thể lớn hơn nó được, nghĩa là:
                 
Nhưng đường trắc địa lại đóng vai trò như đường biên thuộc mặt biên bao hàm không gian vĩ mô nên có thể tưởng tượng rằng tương phản nghịch đảo với đường kính của điểm là đường trắc địa của không gian vĩ mô hiện thực. Có lẽ trên phương diện nào đó mà hình học không đủ khả năng mô tả, đường và đường Dmax là tương đương nhau.
Có thể thấy “cong” là sự kết hợp giữa “thẳng” và “tròn”, đa dạng độ cong là biểu hiện khả năng chuyển hóa đến “chân tơ kẽ tóc” giữa “thẳng” và “tròn”. Chính sự biến hóa của độ cong làm xuất hiện phong phú đến muôn hình muôn vẻ các đường, mặt xoắn, lượn, sóng, vặn, uốn éo… có thể có trong không gian vĩ  mô, mà càng về phía tầng nấc vô cùng nhỏ, những biểu hiện ấy càng có vẻ “gay gắt”. tuy nhiên, khi quan niệm không gian vĩ mô có độ cong với bản chất cong như thế, sẽ mâu thuẫn với quan niệm cho rằng không gian là liên tục, đều đặn và thể hiện ra một cách đồng nhất ở mọi nơi, mọi tầng nấc. Chính cảm nhận trực giác đã là riềng mối mở đường cho tư duy hướng đến nhận thức về tính đồng nhất của không gian thực tại.
Để giải quyết mâu thuẫn tất yếu nảy sinh đó của hình học vĩ mô, cần phải đặt ra câu hỏi: vậy thì cảm nhận trực giác về sự đồng nhất của Không Gian Vũ Trụ có đúng không khi mà năng lực quan sát của nó bị hạn chế, không thể tiếp cận được cõi vô cùng lớn cũng như cõi vô cùng nhỏ (dù rằng nhờ những thiết bị quan sát hỗ trợ thì cũng chỉ phần nào “thấy” được “xa xôi” hơn và “gần gũi” hơn!)? Chính câu hỏi đã mở ra câu trả lời. Chúng ta sống, quan sát, tư duy và nhận thức ở một tầng nấc không gian nhất định được gọi là vĩ mô, bị giới hạn cả “trên” lẫn “dưới” bởi năng lực quan sát. Năng lực quan sát trực giác chủ lực của chúng ta là “nhìn”. Sự “nhìn” ấy đã là cơ sở đầu tiên và quyết định đến sự nhận biết của chúng ta về một hiện thực khách quan vốn dĩ thế. Thoạt kỳ thủy, sự nhận biết chỉ là thứ nhận biết “câm nín”. Sự đa dạng của tiến hóa thích nghi với mội trường luôn biến đổi đã “sản sinh” ra một hướng dẫn đến tư duy và chính tư duy với mục đích nguyên thủy của nó là mưu sinh, đã buộc sự nhận biết câm nín phải “lên tiếng” bằng cách gọi tên các sự vật - hiện tượng, nêu ra những qui ước sơ khai để phân biệt chúng. Khi sự nhận biết “lên tiếng” thì cũng là lúc bắt đầu của một quá trình nhận thức dài lâu. Nhận thức thuở ban đầu là nhận thức trên nền tảng quan sát trực giác, với niềm tin vào tính chân thực hiển nhiên đối với những kết quả thu được từ nhiều lần quan sát ấy và coi trực quan là tiêu chuẩn để xác nhận chân lý. Sự hạn chế tất yếu của quan sát đã gây ra những khó khăn to lớn cho sự nhận thức hiện thực khách quan, làm nảy sinh ra đòi hỏi phải mở rộng tầm quan sát đó để tăng cường nhận thức. Nên để giải quyết cái yêu cầu “thiết yếu” đó, không còn cách nào khác là nhận thức phải sáng tạo ra cái gọi là “quan sát phi trực giác”, hay cũng có thể gọi là “cái nhìn suy tưởng”. Lúc đầu, một “cái nhìn suy tưởng” được cho là đúng đắn nếu nó phù hợp với nhận thức trực giác - cái tri thức được đúc kết từ “cái nhìn trực giác” với niềm tin “sắt đá” rằng đó là những sự thực hiển nhiên. Nhờ có “cái nhìn suy tưởng” mà nhận thức được chắp đôi cánh “thiên thần” để bay ngày càng cao xa, đến khắp mọi miền ảo mộng phi hiện thực mà “cái nhìn trực giác” không bao giờ vươn tầm tới được. Lúc đó những quang cảnh hết sức phi thường lần lượt dàn trải ra trước nhận thức. Vì chưa từng có trải nghiệm ở những miền xa lạ đó và vẫn tin tưởng tuyệt đối một cách cố hữu rằng hiện thực mà nó quan sát trực giác và đã từng trải nghiệm là hoàn toàn chân thực, là tiêu chuẩn duy nhất cuối cùng để xác nhận chân lý, cho nên nhận thức, theo “thói quen” đã trở thành như một truyền thống bất di bất dịch, đã dựa vào những quan sát và trải nghiệm hiện thực đó, lấy chúng làm phương thức cho “cái nhìn suy tưởng”, đồng thời làm cơ sở để xem xét, đánh giá độ tin cậy đối với cái nhìn ấy, cũng như độ xác đáng của những quang cảnh mà cái nhìn ấy “chụp” được. Cũng vì lấy con mắt trực giác đầy hạn chế để làm “công cụ” cho “cái nhìn suy tưởng” như thế nên vô hình dung, nhận thức đã áp đặt cái quan niệm hiện thực cho quá trình suy xét, nghiên cứu những miền phi hiện thực, làm cho những miền ấy bị gán nhiều màu sắc hiện thực mà chúng không có và do đó mà chúng càng huyễn hoặc hơn nữa, càng xa thực tại khách quan hơn nữa. Tuy nhiên, dù là huyễn hoặc thì những miền ấy không hẳn là hoàn toàn phi lý, bởi vì chúng là kết quả được xây dựng nên trên cơ sở những chân lý đã nhận thức được trước đó với nền tảng là sự thực khách quan của hiện thực - một bộ phận của Vũ Trụ và cũng hàm chứa những đặc tính chung nhất, cơ bản nhất của Tự Nhiên Tồn Tại. Đến lúc này thì những quang cảnh phi hiện thực ấy không hẳn là phi hiện thực nữa mà chúng hợp lại thành  một thế giới “hỗn độn” vừa hiện thực vừa phi hiện thực, làm cho nhận thức lâm vào tình trạng tiến thoái lưỡng nan và trở nên ngày một hoang mang. Bởi vì trước một nhận thức  còn bị gông xiềng vào niềm tin về tính chân lý của một hiện thực do cảm nhận trực giác có năng lực hạn hẹp bày ra nên cái thế giới ấy hàm chứa cả đúng cả sai, nhiều chân lý nhưng cũng lắm nghịch lý, có những hoạt cảnh phù hợp với hiện thực nhưng không xác minh được đồng thời cũng có những hoạt cảnh không phù hợp với hiện thực nhưng được chứng minh là hoàn toàn xác đáng (phi mâu thuẫn nội tại).
Khi nỗi hoang mang của nhận thức trở nên bức bối không chịu nổi nữa và trước nguy cơ “con đường đi chinh phục” của nó bị hoàn toàn bế tắc, thì nhận thức sẽ vùng lên giải phóng khỏi những quan niệm đã từng một thời vang bóng lẫy lừng nhưng đã trở nên “eo hẹp” và bảo thủ, rồi xây dựng lại thành những quan niệm mới, rộng lớn hơn, đúng đắn hơn để tiếp tục tiến lên.
Đó là con đường gian lao mà hào hùng của nhận thức và nhận thức hình học cũng phải đi trên con đường ấy. Đối với hình học vĩ mô cũng vậy. Quá trình nhận thức về không gian thực tại của hình học vĩ mô đã dẫn đến mâu thuẫn to lớn: nếu tin vào quan niệm của triết học duy tồn thì không gian vĩ mô phải đồng đều, thuần nhất, có tính Ơclít và phải loại bỏ hình học hyperbolíc, hình học eliptíc cũng như hình học Riman ra khỏi phạm vi của hình học vĩ mô. Chọn phương án nào cho hình học vĩ mô khi tính cong và thẳng của không gian đều được công nhận là xác đáng?
Chúng ta cho rằng nguyên nhân làm nảy sinh ra mâu thuẫn “ghê gớm” ấy là ở chỗ chúng ta đã “cố tình” nhận biết, tìm hiểu những biểu hiện của không gian ở tầng vô cùng nhỏ theo quan niệm về không gian mà chúng ta xây dựng được từ quá trình quan sát, tư duy và nhận thức (mà trong đó năng lực hạn chế về quan sát và cảm nhận trực giác là yếu tố quyết định chủ yếu) đối với không gian hiện thực của chúng ta (mà chúng ta gọi là không gian vĩ mô). Chúng ta đâu ngờ rằng với cách “nhìn gà hóa cuốc” như thế, chúng ta đã buộc không gian ở tầng nấc vô cùng nhỏ phải “ở lại” với không gian vĩ mô, vẫn phải thuộc về không gian vĩ mô, trong khi đáng lý ra nó phải “ở ngoài” không gian vĩ mô mới phù hợp với thực tại khách quan (cũng có nghĩa là phải “ở ngoài” không gian hiện thực của chúng ta). Có thể nói thế này: nhận thức về một không gian Ơclít là hoàn toàn xác đáng đối với không gian hiện thực mà năng lực quan sát trực giác của con người “thấy” được và hoàn toàn sai khi đứng trên quan điểm ấy mà cho rằng không gian ở tầng nấc vô cùng nhỏ cũng phải ứng xử tương tự như vậy.
Hàng loạt những hiện tượng ở tầng nấc không gian vô cùng nhỏ mà vật lý học đã làm phát lộ ra, cho chúng ta thấy về những tính cách và xử sự rất khác về không gian ở tầng nấc ấy so với của không gian hiện thực thông thường. Điều đó cũng gợi ý rằng một biến cố xảy ra trong Không Gian Vũ Trụ, trước những chủ thể quan sát có năng lực khác nhau, “trong” những tầng nấc qui mô không gian khác nhau, sẽ biểu hiện ra tương đối khác nhau mà đối với chúng ta, có thể phân thành hai phương thức quan sát cơ bản gọi là quan sát vĩ mô và quan sát vi mô. Quan sát vĩ mô là quan sát chỉ thấy được không gian hiện thực thông thường như chúng ta đang thấy và gọi nó là không gian vĩ mô. Quan sát vi mô là quan sát chỉ thấy được không gian vô cùng nhỏ mà chúng ta gọi là không gian vi mô. Có thể rằng năng lực và phạm vi quan sát trực giác là tùy thuộc vào cấu trúc nội tại của chủ thể quan sát, cho nên chúng ta không thể quan sát trực tiếp được những sự kiện xảy ra trong không gian vi mô mà chỉ có thể “thấy” được chúng bằng “cái nhìn suy tưởng”.
Tuy nhiên, không thể nào quan sát không gian vĩ mô và không gian vi mô cùng một lúc được, cho nên muốn nhận thức được Không Gian Vũ Trụ một cách đầy đủ, phải nghiên cứu nó lần lượt theo hai góc độ quan sát vĩ mô và vi mô. Chính vì vậy mà Vũ trụ hình học phải gồm hai bộ phận hợp thành là hình học vĩ mô và hình học vi mô. Hình học vĩ mô là hình học coi điểm là không có nội tại (không có kích thước), còn hình học vi mô là lĩnh vực nghiên cứu không gian một cách hình học khi điểm có nội tại đáng kể, không thể bỏ qua kích thước của nó được.
Chúng ta đã bàn luận về hình học vĩ mô và bây giờ chúng ta phải hình dung như thế nào về hình học vi mô?
***
Giả sử rằng chúng ta biến hóa thành một chủ thể quan sát trực giác được điểm KG và xác định được “kích thước” cũng như hình thù của nó và cho rằng hình bóng của nó gồm ba hình cơ bản mô tả ở hình 1 mà gốc chuẩn của nó là hình tứ diện tam giác đều 1/b. Độ cong cực đại tuyệt đối chính là độ cong của đường tròn được xác định bởi đường kính của hình cầu 1/a (gọi là có tính dương) hoặc là cung tròn được xác định bởi đường kính đó ở hình 1/c (gọi là có tính âm). Độ cong cực đại tuyệt đối bằng 1 và không thể có độ cong nào lớn hơn nó nữa; nghĩa là độ cong sẽ phải giảm dần về phía vô cùng lớn của không gian và đạt cực tiểu tuyệt đối khi đường kính không gian bằng giá trị nghịch đảo của đường kính điểm KG. Vì hai đường kính đó là ảo, thực của nhau nên đường kính của Không Gian Vũ Trụ có độ dài bằng với độ dài đường trắc địa của nó (mà chúng ta cho là đường tròn) và có thể cũng chính là đường trắc địa. Quan niệm này là trùng với quan niệm của hình học vĩ mô.
Tuy nhiên, vì không gian là tập hợp của vô vàn điểm có nội tại, nghĩa là có kích thước “xác định” và không thể có Hư Vô nên trước chủ thể quan sát “trực giác” được không gian vi mô, Không Gian Vũ Trụ được thấy không liên tục và có cấu trúc mạng khối. Vì không gian vi mô cũng có tính liên thông nên trong đó cũng có thể tồn tại đoạn, đường, mặt và khối. Vì điểm có kích thước “xác định” nên đường hay đoạn cũng phải có tiết diện và tiết diện đó ít nhất cũng bằng kích thước của điểm KG. Vì hình bóng chuẩn của điểm KG là tứ diện tam giác đều, nghĩa là có 4 mặt và cấu trúc không gian vi mô có tính đặc thù là không cho phép xuất hiện Hư Vô nên có thể nói qua một điểm KG cho trước, không thể “vẽ” được một đường thẳng nào và chỉ có thể “vẽ” tối đa là hai đường không thẳng, hay từ điểm KG đó, chỉ có thể vẽ được bốn phương chiều (xem hình 6/a). Bốn phương chiều đó có chung gốc ảo là trung tâm của điểm KG và hợp với nhau lập thành một góc khối được qui ước có giá trị là .
Hình 6: Hệ bốn phương chiều của điểm KG.
Như vậy, đối với một điểm tương đối (gồm một tập hợp xác định điểm KG nào đó), có thể có nhiều chiều hoặc vô số chiều nhưng không vô hạn, còn đối với điểm tuyệt đối (điểm KG) thì chỉ có thể “dựng” cho nó tối đa là 4 phương chiều không gian. Ở tầng không gian vi mô, tính liên thông được thể hiện qua sự lan truyền trạng thái nội tại của các điểm KG (một cách hình thức) do có sự tác động và kích thích lẫn nhau. Trạng thái nội tại của điểm KG chỉ có thể lan truyền theo một trong bốn phương chiều ấy và luôn thay đổi phương chiều ở mỗi điểm KG, nghĩa là phương chiều ở không gian vi mô có tính cục bộ, địa phương và do đó, ít ra là ở tận cùng vi mô, không tồn tại đường thẳng. Hơn nữa, có thể là qua một điểm KG ở ngoài một đường cho trước không bao giờ vẽ được đường song song với đường đã cho.
Bản chất của sự truyền sáng (tính phân kỳ tự nhiên của chùm sáng, đường đi dạng sóng của tia sáng) có nguyên nhân sâu xa trong không gian vi mô, phô diễn ra trong không gian vĩ mô có thể là một xác nhận cho những phán đoán ở trên. Cũng có thể rằng đường (truyền) dạng sóng sin tính, thậm chí là đường xoắn đai ốc là đường đặc thù và phổ biến, có tính tiêu biểu, cơ sở của không gian vi mô. Tập hợp vô số những đường lan truyền trạng thái của những điểm KG (hay đúng hơn là của các tia sáng), gọi là chùm, sao cho đến mức có thể quan sát được trong không gian vi mô, và bằng cách nào đó cho nó đi theo một phương xác định thì lúc đó, nó mới được gọi là đường thẳng và chỉ có thể hiện hữu trong không gian vĩ mô.
Nếu khoảng cách giữa hai điểm được định nghĩa là độ dài đoạn thẳng (ngắn nhất) nối hai điểm ấy, thì ở không gian vi mô cũng tồn tại khoảng cách giữa hai điểm KG và như vậy cũng tồn tại những đoạn thẳng, thậm chí là đường thẳng nhưng đó là những tồn tại ảo, vì chúng không phải là những đường thực sự được “xây dựng” nên từ tập hợp nối tiếp  nhau của các điểm KG. Có thể sáng tạo một hệ thống hình học Ơclít hay cả phi Ơclít cho không gian vi mô - không gian mạng khối và phải kể đến kích cỡ của điểm, nhưng đó chỉ là những hệ thống không gian phi thực, không phù hợp đạo lý chút nào!
Không gian vi mô cũng vì có cấu trúc mạng khối nên tương đối không phẳng lặng, liên tục và đồng nhất. Các đường và mặt luôn biến điệu từ điểm KG này đến điểm KG kia, do vậy mà cũng như trong không gian vĩ mô, không thể quan sát trực giác được độ cong giảm dần từ vô cùng gần tới vô cùng xa mà chỉ có thể suy lý.
Hệ thống bốn phương chiều của điểm KG có một đặc tính mà chúng ta cho là rất quan trọng, ẩn chứa điều bí ẩn lớn lao nào đó của Không Gian Vũ Trụ, đó là tổng hợp ba phương chiều bất kỳ (tổng ba véc tơ) đúng bằng phương chiều tương phản của phương chiều còn lại, hoặc tổng hợp của hai phương chiều kề cận nhau là phương chiều tương phản với phương chiều tổng hợp của hai phương chiều kia trong hệ thống bốn phương chiều. Điều đó cũng có nghĩa là sự phân phối phương chiều trong hệ thống phương chiều của điểm KG là đồng đẳng về mặt phân chia không gian.
Có thể tưởng tượng rằng trạng thái nội tại của điểm KG có thể lan truyền theo bất cứ phương chiều nào trong số 4 phương chiều lập thành hệ thống phương chiều của nó. Vậy thì cùng một lúc một trạng thái nội tại của điểm KG có thể lan truyền theo hai phương chiều hay thậm chí là bốn phương chiều của điểm KG không? Khi nội tại điểm KG vận động trong phạm vi 4 trạng thái thông thường một cách điều hòa thì nó chẳng lan truyền đi đâu cả, nhưng về mặt hình thức, có thể thấy như có sự lan truyền và trong trường hợp này, nhiều khi cũng có thể thấy (hình như) trạng thái nội tại của điểm KG nào đó lan truyền đồng thời theo 2 phương chiều hay theo cả 4 phương chiều. Mặt khác, vì điểm KG là nhỏ tuyệt đối, không thể phân chia nhỏ hơn được nữa, cho nên trạng thái nội tại của nó nếu có lan truyền thì cũng chỉ lan truyền theo một phương chiều duy nhất mà thôi. Khi “định” lan truyền theo một phương chiều nào đó, lập tức 3 phương chiều còn lại hợp thành phương chiều lan truyền tương phản âm - dương với phương chiều (ảo) mà trạng thái nội tại “định” lan truyền, làm triệt tiêu khả năng lan truyền của nó và như vậy sẽ không có sự lan truyền nào cả. Có thể chính hiện tượng này đã làm cho điểm KG có Spin, nội tại của nó “xoáy” kinh hồn bạt vía.
Về thực chất, điểm KG cùng với nội tại của nó là bất di bất dịch trong Không Gian Vũ Trụ. Thế nhưng do một nguyên nhân nào đó, nội tại điểm KG có thể bị kích thích đạt đến một trong hai trạng thái tột độ mà nếu không được giải quyết cấp bách sẽ làm cho điểm KG chấm dứt tồn tại. Đơn vị của tồn tại (tồn tại tuyệt đối) chấm dứt tồn tại thì có nghĩa là Không Gian Vũ Trụ không được bảo toàn nữa, đồng thời làm xuất hiện Hư Vô. Điểm KG chấm dứt tồn tại không phải là “lặn” mất tăm (vì có thể lặn đi đâu được?) mà chỉ có thể là “nổ tan tành”. Một cú nổ như thế sẽ vô cùng khủng khiếp, đến nỗi Đấng Tạo Hóa thiêng liêng và toàn năng cũng không đủ hoang tưởng để hình dung ra nổi. May lắm thì chỉ có thể so sánh vụ nổ Big Bang của hoang tưởng vật lý học với vụ nổ đó mà thôi. Có thể cho rằng hai vụ nổ là tương phản của nhau: nếu vụ nổ Big Bang biến Hư Vô thành Tồn Tại thì vụ nổ điểm KG kích thích biến Tồn Tại thành Hư Vô! Rất may là vụ nổ Big Bang chưa từng xảy ra và vụ nổ điểm KG không thể xảy ra! Tồn Tại hay Hư Vô thì đối với chủ thể quan sát là chúng ta, những người đang sống, cứ vẫn là Tự Nhiên Tồn Tại.
Để giải quyết “nỗi bức bách” do bị kích thích lên tột độ đó, điểm KG phải truyền cái làm nó bị kích thích cho điểm KG khác. Điểm khác ấy lại bị kích thích tột độ và phải truyền cái làm nó bị kích thích cho điểm KG khác nữa, cứ như thế, chúng ta có cảm nhận rằng điểm KG có trạng thái nội tại kích thích tột độ di dời trong không gian, và “thấy thực sự” đúng là có một “lượng” nào đó của nội tại điểm KG ở trạng thái kích thích tột độ được lan truyền ra không gian. Sự lan truyền đó, vì nguyên nhân đã nêu ở trên, chỉ có thể theo một phương chiều nào đó (qua một mặt nào đó) trong số 4 chiều (trong số 4 mặt) của điểm KG. Lúc này, sự lan truyền trạng thái nội tại qua một mặt của điểm KG kích thích là một “hiện thực” nên sự hợp thành của 3 phương chiều còn lại là một phương chiều ảo nhưng “hiện hữu” ra thành lực lượng nội tại “còn lại” của điểm KG.
Lực lượng nội tại của điểm KG thông thường không phải là thứ gì khác mà cũng chính là không gian - là một lượng thể tích nhỏ nhất tuyệt đối của Không Gian Vũ Trụ và góp phần làm nên Vũ Trụ thực tại (dù rằng ở góc độ quan sát khác, lực lượng này là phi hiện thực, là một không gian ảo). Vậy lực lượng không gian nội tại của điểm KG thông thường (chưa bị kích thích tột độ) là bao nhiêu? Nếu đem câu hỏi này đố Thầy Cãi hay NTT thì mấy “cha” này chắc chắn là phải chịu chết thôi! Có thể có hai nhân vật biết điều này, đó là Tạo Hóa và Hoàng Tử Bé. Tuy nhiên, giờ này làm sao mà gặp được họ? Chúng ta không biết nhưng có thể ký hiệu cho lượng không gian đó là Vt.
 Nếu lực lượng không gian nội tại của điểm KG thông thường là Vt thì đối với điểm KG có trạng thái tột độ, lực lượng không gian nội tại của nó bằng bao nhiêu? Trước hết, vì có hai trạng thái nội tại tột độ nên chúng ta đưa ra hai ký hiệu để phân biệt chúng là VC và VG. Đó là hai lực lượng tuyệt đối bằng nhau nhưng tương phản nhau (có thể là do xoáy không gian trái chiều nhau). Do hiện tượng lan truyền kích thích được “thấy” như sự phân đôi lực lượng theo 2 chiều ảo và thực đối lập nhau nên có thể “thấy” VC (hay VG) là những lực lượng gấp hai lần Vt. Thế nhưng sự lan truyền đó chỉ là lan truyền kích thích thôi chứ chúng ta đã nói rằng nội tại một điềm KG hay bản thân điểm KG không bao giờ di dời đi đâu cả. Vì vậy phải tưởng tượng rằng khi nội tại điểm KG bị kích thích đền tột độ thì có nghĩa độ xoáy không gian của nội tại nó bị tăng lên cực độ, buộc nó phải kích thích một trong bốn điểm KG kề cận nó để làm giảm độ xoáy của nội tại nó xuống một nửa, trở về lại trạng thái thông thường. Có thể diễn giải một cách “toán học” thế này:
                 
Trong mối quan hệ tương phản âm - dương thì vì có:
                 
Nên có thể viết:
                 
Trong mối quan hệ tương phản nghịch đảo thì vì có:
                 
Nên có thể viết:
                 
Thêm nữa, nếu chúng ta gọi mức độ xoáy nội tại của điểm KG thông thường là St và độ xoáy nội tại của điểm KG bị kích thích tột độ là Skt thì phải có:
                 
để khi điểm KG bị kích thích đã trở về trạng thái bình thường thì có nghĩa nó đã truyền được một “lượng” xoáy cho điểm KG khác là:
                 
Thế thì cái gọi là “lực lượng xoáy” ấy ở đâu ra? Tự Nhiên Tồn Tại là vốn dĩ thế nên có thể nói cũng là Tự thân Tồn Tại thông qua thể chất duy nhất của nó là Không Gian Vũ Trụ. Không Gian Vũ Trụ phải tự thân vận động đến “chân tơ kẽ tóc” để khẳng định Tồn Tại là hiển nhiên, Tồn Tại là duy nhất, Tồn Tại là tức thời và cũng là hằng cửu. Tất cả những đặc tính vốn có của Không Gian Vũ Trụ được thể hiện ra trước một chủ thể quan sát và nhận thức đều nhằm vào mục đích cuối cùng và duy nhất: Tồn Tại là Tự Nhiên, Tự Nhiên là sự thể hiện một cách toàn năng của Tồn Tại, Tồn Tại có thể như thế này thì cũng có thể như thế kia, đâu đâu cũng là Tồn Tại, Tồn Tại là tất cả mà cũng không là gì cả. Vì lẽ đó mà nội tại của mọi điểm KG đều thường xuyên biến đổi, đều liên tục chuyển hóa một cách điều hòa qua bốn trạng thái cơ bản và trong trường hợp chín muồi thì bị kích thích lên một trong hai trạng thái tột độ tương phản nhau và làm xuất hiện sự lan truyền kích thích trong không gian. Chúng ta gọi sự thường biến là vận động và một vận động điều hòa theo chu kỳ “tại chỗ” nào đó chính là sự “xoáy không gian”. Vì chúng ta đã cho rằng thể chất duy nhất của Vũ Trụ là không gian và điểm KG biểu hiện sự tồn tại tuyệt đối của nó bằng sự xoáy cho nên phải hình dung nội tại điểm KG nói riêng và Không Gian Vũ Trụ nói chung, “trình hiện ra” trước chủ thể quan sát đồng thời dưới hai hình thức lực lượng (V) và vận động (S). Sự “trình hiện” ấy cũng chính là theo nguyên lý bất biến và thường biến của Tự Nhiên. Lý giải như thế sẽ dẫn đến:
                 
và đồng thời
                 
Thế thì có thể cho rằng, xét ở góc độ thứ nhất:
                 
và xét ở góc độ thứ hai:
                 
Từ đó mà suy ra:
                 
Và:
                 
Nghĩa là: mọi điểm KG đều có nội tại bằng nhau tuyệt đối về thể tích không gian và có thể khác nhau về mức độ xoáy (vận động) không gian. Sự xoáy không gian của hai điểm KG có trạng thái kích thích tột độ tương phản nhau là tuyệt đối bằng nhau về mức độ nhưng trái chiều nhau.
Gọi Vt là thể tích của điểm KG thông thường thì để đồng thời thỏa mãn quan niệm về độ cong cực đại tuyệt đối, chúng ta cho rằng, Vt là thể tích  của một khối cầu mà đường kính của nó là đoạn thẳng (ảo) có độ dài đơn vị nhỏ tuyệt đối của Không Gian Vũ Trụ thực tại. Nếu gọi d là đoạn thẳng ấy thì:
                 
Dựa vào khái niệm về độ dài toàn phần của đường biên Không Gian Vũ Trụ, chúng ta cũng đi đến khái niệm về lực lượng toàn phần của một điểm KG. Khi điểm KG bị kích thích lên một trong hai trạng thái tột độ thì lực lượng nội tại của nó sẽ đạt đến giá trị cực đại và được gọi là lực lượng toàn phần của điểm KG. Nếu gọi V là giá tị tuyệt đối của lực lượng toàn phần của điểm KG, và vì , thì có thể viết:
                 
Hay:
                 
Và cũng có thể viết:
                 
Đến đây, chúng ta tạm dừng suy nghĩ lại để tự vấn mình: phải chăng sự hoang tưởng của chúng ta đã vượt giới hạn để đến với sự điên rồ, và trong trạng thái điên rồ đó, chúng ta đã “nhào nặn” ra nhiều điều quá ư quái gở? Có thể là thế thật! Nhưng biết đâu đấy, trước mắt của đương thời, những điều đó chắc gì đã quái gở hơn hình học Lôbaxépski - Bôia khi nó mới ra đời?
(còn nữa)


Mời xem:

LỜI PHÂN TRẦN

PHẦN I: CÓ MỘT CÁI GÌ ĐÓ

PHẦN II: NỀN TẢNG

PHẦN III: NGUỒN CỘI

PHẦN IV: BÁU VẬT



,